Zaloguj się, aby obserwować  
Anonim_ecd01e12338b9d94a1a513fa581ad6b292a862bb1c126c31d561978527500a64

Matematyka

1442 postów w tym temacie

Dnia 11.09.2008 o 21:37, Cień Ranthara napisał:

Nabazgrałem taki rysuneczek sytuacji, ale niezbyt mi to pomaga...


erton troche zamotal, a rozwiazanie jest duzo prostsze, wystarczy skorzystac z twierdzenia talosa.

(1/2*|CB|)/20=|CB|/a , po uproszczeniu otrzymujemy 1/2*a=20, wiec a = 40.
analogicznie (1/2*|AD|)/10=|AD|/c, wiec c = 20

pozdro

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

Jestem na lekcji i mam rakie zadanie:
Obwód trapezu jest równy 30 cm, a odcinek łączący środki przekątnych trapezu ma długość 1,5 cm. Wiedząc, że ten trapez można wpisać w okrąg, oblicz długości jego podstaw.
Jak je rozwiązać? Próbowałem wszystkiego...

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

Mam nietypowe pytanie - jak matematycznie utworzyć pierwiastek z 21? Nie chodzi mi tylko o narysowanie go (bo to akurat umiem), ale udowodnienie, że on rzeczywiście tyle ma. Mówiąc bardziej po ludzku - narysować go umiem, ale mam udowodnić, że to rzeczywiście pierwiastek z 21.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 23.09.2008 o 17:55, ziptofaf napisał:

Mam nietypowe pytanie - jak matematycznie utworzyć pierwiastek z 21? Nie chodzi mi tylko
o narysowanie go (bo to akurat umiem), ale udowodnienie, że on rzeczywiście tyle ma.
Mówiąc bardziej po ludzku - narysować go umiem, ale mam udowodnić, że to rzeczywiście
pierwiastek z 21.

Ja znam taki sposób, że malujesz odcinek o długości pierwiastek z 16 czyli 4, traktujesz go jako jedną z przyprostokątnych, malujesz drugą przyprostokątną o długości pierwiastek z 4, czyli 2, i przeciwprostokątną będzie odcinek o długości pierwiastek z 20. Następnie traktujesz powstały odcinek jako przyprostokątną nowego trójkąta, gdzie drugą przyprostokątną jest odcinek o długości 1 i przeciwprostokątna nowo powstałego trójkąta będzie równa pierwiastek z 21. Mam nadzieję, że zrozumiesz :)

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 23.09.2008 o 18:01, Erton napisał:

Ja znam taki sposób, że malujesz odcinek o długości pierwiastek z 16 czyli 4, traktujesz
go jako jedną z przyprostokątnych, malujesz drugą przyprostokątną o długości pierwiastek
z 4, czyli 2, i przeciwprostokątną będzie odcinek o długości pierwiastek z 20. Następnie
traktujesz powstały odcinek jako przyprostokątną nowego trójkąta, gdzie drugą przyprostokątną
jest odcinek o długości 1 i przeciwprostokątna nowo powstałego trójkąta będzie równa
pierwiastek z 21. Mam nadzieję, że zrozumiesz :)


Masz na myśli coś w rodzaju "ślimaka" (bo chyba na nim można wyznaczyć wszystkie pierwiastki)? Z chęcią sprawdzę, czy to działa :)

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 23.09.2008 o 18:04, ziptofaf napisał:

Masz na myśli coś w rodzaju "ślimaka" (bo chyba na nim można wyznaczyć wszystkie pierwiastki)?
Z chęcią sprawdzę, czy to działa :)

Tak, tylko że pozwoliłem sobie to przyśpieszyć, zamiast pitolić się z 20 trójkątami :)

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 23.09.2008 o 18:04, ziptofaf napisał:

Masz na myśli coś w rodzaju "ślimaka" (bo chyba na nim można wyznaczyć wszystkie pierwiastki)?
Z chęcią sprawdzę, czy to działa :)

Działa, działa. Za starych czasów widziałem taki program napisany w LOGO. I rzeczywiście sposób podany przez Ertona jest lepszy, choćby ze względu na czytelność rysunku.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

> to jest odpowiedź na posta dodanego przez KrzysztofMarek
> Wiesz, moje wykształcenie matematyczne to de facto poziom matury.

Ale wiedzą i umiejętnościami wykraczasz poza ten poziom. Jestem zwolennikiem przemycania ważnych osiągnięć różnych dziedzin do „świadomości ogólnej”, a dokładniej do tych, którzy potrafią je przynajmniej częściowo zrozumieć. Na tym polega rozwój, a nie na masowym produkowaniu osób z mgr przed nazwiskiem. Dzisiaj gawędzimy sobie o dosyć teoretycznych rzeczach. Matematyka to nie nauka o liczbach – to znajdywanie prawd opartych na danych założeniach. Prawd pewnych i niepodważalnych – z tego powodu trzeba pracować na abstrakcjach, żadna inna forma nie zapewnia odpowiedniej „czystości”. Akurat padło na liczby i przestrzeń. Równie dobrze można by operować czymś innym. Tak zwane twierdzenie Gödla (o którym pamiętam, że wiesz) to też osiągnięcie matematyczne (z „matematyki wyższej”, heh, zawsze mnie ciekawiło, gdzie się kończy niższa – pewnie tam, gdzie mówiący przestaje rozumieć), a jego skutki są jakże nieliczbowe. Każdy matematyk jest filozofem, ale w drugą stronę to już nie działa. A szkoda – skutek taki, że niektórzy do dziś się zastanawiają, jak wygląda kwadrat o polu minus jeden.

> No i mam do Ciebie dość teoretyczne pytanie: czy, jeśli jakąkolwiek liczbę podzielimy przez nieskończenie małą, > jaką jest zero, to otrzymamy liczbę nieskończenie wielką? ;-D
> Tak, oczywiście, wiem, ze przez zero nie wolno dzielić...
> I wiem, ze zero to zupełne nic, a nie coś nieskończenie małego. Ale... czym się rózni?

Hihi, nie dajesz za wygraną, ale bardzo się cieszę, że o to zapytałeś. Twoja wątpliwość jest absolutnie naturalna i uzasadniona chociażby ciekawością „a co się stanie jeśli...”. Ze zgrozą stwierdzam, że ani kurs szkolny, ani nawet znakomita większość tzw. ścisłych kierunków studiów (np. ekonomia) nie rozwiązuje tego wszędobylskiego problemu. Widocznie są ważniejsze sprawy...

Ale cóż to, historia zatoczyła krąg. Czyż nie takie zagadnienie było poruszane niecałe trzy lata temu, gdy pierwszy raz wpadłem do pewnego-tematu-co-jakby-trochę podupadł-ostatnimi-czasy? TYHE chyba nie dała sie wtedy przekonać, hehe. Muszę otrzeć łezkę [ociera]. A teraz do rzeczy.

Twoje pytanie jest jak najbardziej konkretne, ale odpowiedź będzie dość zawiła. Niestety (na szczęście?), mimo wszystko forma wypowiedzi na forum ogólnodostępnym zmusza mnie do zachowania pewnej dozy potoczności. Postaram się tak napisać, by każdy mógł coś zrozumieć, a co wyjdzie, to zobaczymy. Ale ostrzegam, trzeba się skupić. Troszkę tekstu wyszło, zatem dla klarowności podzieliłem dalszą część posta na trzy części. Właściwie można je czytać niezależnie, ale numeracja nie jest przypadkowa. (1) to mały wstęp i komentarz do pytania (2) wypocinki na temat „dzielenia przez zero”, czyli troszkę podstawowych podstaw algebraicznych (ale bez paniki, nie będę przesadzał) (3) słów kilka o tym, jak rozumieć „nieskończenie małe” wielkości i do czego się one przydają.

(1) No to da się, czy się nie da?

Nie będę ukrywał, że jeśli chciałbym dokładnie odpowiedzieć na to pytanie, to powstała by mała książka popularnonaukowa. Nie z powodu chęci okrążania tematu aż do znudzenia czytającego (i w konsekwencji porzucenia problemu), tylko mnogości różnych wariantów rozumowania, z których każdy jest tak samo prawdziwy, a rzuca trochę światła na nieco inne aspekty. Chcąc nie chcąc skondensuję informację [coś to nie wygląda na skondensowane... – przyp. Matteos po zakończeniu pisania]. Ogólnie rzecz ujmując, rozważamy sytuację, gdy chcemy podzielić coś stałego (ew. skończonego) przez obiekt zwany zerem. Wszelkie wyniki mają być pewne i posiadać uzasadnienie lub ma się okazać, że myślimy o czymś nieistniejącym. Jedyna trudność to sprecyzowanie, o co nam dokradnie chodzi. Czyli podanie definicji. To jest wręcz niezbędne do sformułowania odpowiedzi, a jeśli kogoś już odrzuca takie „filozoficzne” podejście, to oświadczam, że dalej lepiej nie będzie, i może przestać czytać (tu zwracam się do postronnych, bo jak mniemam Ty i tak przeczytasz).

Napisałeś „coś nieskończenie małego” i to pojęcie jest najbardziej problematyczne, bo można je rozumieć na wiele sposobów. Ja przyjmę następujące podejście: najpierw rozważę zero jako symbol formalny używany w działaniu arytmetycznym, dzięki czemu uzyskamy klarowność w pojęciu „x podzielić przez y”, następnie przejdę do bardziej tradycyjnego rozumienia zera jako miary „wielkości” czegoś. W tym drugim fragmencie pojawi się coś takiego jak „nieskończenie mały x” w rozumieniu: mniejszy od dowolnie zadanej liczby dodatniej, dlaczego nie „równy zero”, wyniknie z treści.

(2) Dzielić mnożąc, czy może na odwrót?

Problem z interpretacją zapisanych za pomocą danych symboli wyrażeń pojawia się najczęściej w dwóch wypadkach. Albo same symbole zostały niezbyt dobrze określone, albo sens całego wyrażenia nie wynika z przyjętych definicji. Postaram się pokazać, że przy okazji zapisu „x/0” w potocznym rozumieniu... zachodzą oba przypadki. Siłą rzeczy musimy udać się na niezobowiązującą wycieczkę do nauki o działaniach, czyli w królestwo algebry. No to ruszamy.

Tak naprawdę mnożenie i dzielenie to jedna i ta sama operacja. W życiu codziennym rozróżnia się je, bo tak każe intuicja - mnożenie to po prostu dokładanie elementów (dwa jabłuszka razy dwa jabłuszka = cztery jabłuszka), dzielenie zaś odpowiada jakieś operacji podziału na mniejsze (tort dzielony na dwa to dwie połówki, czyli dwa razy po 0,5 tortu). Odwołania te zaczynają zawodzić bardzo wcześnie – co to niby jest dwa samochody razy pierwiastek z dwóch samochodów?

Wyobraźmy sobie zbiór elementów (jakichkolwiek: drzewa, politycy z sejmu etc.). Ustalamy na nich dwa działania A i B tzn. umawiamy się, że jeśli wybierzemy jakieś dwa elementy x,y i połączymy je którymś z tych działań, to wiemy, co wyjdzie. Można zapisać xAy = c (wynikiem działania y na x jest c). Dla działań A i B dobierzmy sobie odpowiednio po jednym elemencie a i b, które są dla nich neutralne – mam na myśli sytuację, że jeśli podziałamy tak: xAa, to x się nie zmieni. xAa=x, xBb=x. Jeszcze tylko jedna definicja: element odwrotny do x, oznaczany x^(-1) (x do potęgi minus jeden) to taki, że zachodzi xA(x^(-1))=a (x połączony działaniem A z (x^(-1)) da w wyniku element neutralny a). ==>Wszystkie elementy poza b (elementem neutralnym B) mają swoje odwrotności. Jeśli pociągnę ten wywód w takiej abstrakcyjnej formie, to raczej będzie to mało interesujące - ot, bawię się znaczkami. Dlatego powrócę do konkretnego przypadku – weźmy nasze liczby wymierne (n/m n,m całkowite, m niezerowe). A to mnożenie, B dodawanie. Elementem neutralnym mnożenia jest 1 (x*1=x), dodawania 0 (x+0=x, zero to „nic”, bo nie zwiększa iksa). Elementem odwrotnym do x jest 1/x (jeden podzielić przez x). Na przykładzie: x=2. 2*1=2 (dwójka się nie zmieniła po pomnożeniu przez jeden). 2+0=2 (dwójka się nie zmieniła po dodaniu zera). 2*(1/2)=1 (dwa razy jedna druga to element neutralny mnożenia, czyli po naszemu jeden). To baza, na której wszystko się opiera. Otóż „dzielenie” i „odejmowanie” to tylko szczególne przypadki mnożenia i dodawania.

Pamiętasz szkolną zasadę x/y = x*(1/y) (x podzielić przez y jest tym samym co x razy jedna y-owa)? Na poziomie edukacji na którym jest podawana nikt nie kwapi się z wyjaśnieniem, o co tu naprawdę chodzi. Tak po prostu jest i już. A to jest bardzo ważne – pokazuje, że dzielenie to właściwe tylko umowne oznaczenie na mnożenie określonych elementów. Co to znaczy podzielić x przez y? To ni mniej ni więcej pomnożyć x przez element odwrotny do y. Na przykład 3/4 = 3*(4^(-1))=3*(1/4). Pytasz, co wyniknie z x/0, x różne od zera. To inne oznaczenie na x*(0^(-1)), x razy element odwrotny do zera. Takie coś nie istnieje – powyżej zaznaczyłem, że element neutralny dodawania nie ma odwrotności (zdanie ze strzałką ==>), zatem zapis „x/0” nie ma wyniku w naszej konstrukcji – nie obejmują go żadne powyższe definicje. Niewtajemniczonych spławia się tekstami „nie można dzielić przez zero”, „nie da się”, „to jest niedozwolone” itd. z dogmatycznym uzasadnieniem – „bo tak”. Nie wszystko co da się napisać używając zdefiniowanych znaczków jako całość jest zdefiniowane – chociażby z liter alfabetu da się ułożyć nazwę „sfsipifpaipaiqpwo”, a takie coś raczej nie istnieje (a przynajmniej mam taką nadzieję). Naturalnie możemy się umówić, że dodatkowo dołożymy jakieś właściwości, by dzielenie przez zero było jakoś określone. Przykładowo nazwijmy nowe działanie „dzieleniem Matteosa-KrzysztofaMarka” - (DMKM) i oznaczmy jak zwykłe dzielenie: x(DMKM)y = x/y. Niech działa tak, że dla mianownika różnego od zera jest to „tradycyjne” dzielenie, a dla x/0 daje... no właśnie – co? Możemy tu wstawić cokolwiek – jakąś liczbę, obiekt który nazwiemy nieskończonością... Może niech x/0 = 2.4535493. Wszystko jedno, bo to twórcze rozwinięcie, nowy aksjomat, a nie wynik poprzednich. W takim sensie dzielenie przez zero może dać „wszystko”. Na gruncie przyjętej tradycyjnej aksjomatyki takie postępowanie jest jednak niewykonalne.

Podsumowując – zero w rozumieniu algebry to nie byt ilościowy, tylko element neutralny działania nazywanego zwyczajowo dodawaniem. Dzielenie jest definiowane za pomocą mnożenia i jako takie jest tylko jego szczególnym przypadkiem. Ze struktury zbioru liczbowego opartej na przyjętych aksjomatach wynika, że zero nie ma elementu odwrotnego w sensie mnożenia, skutkiem czego napis „x/0” nie jest określony. Jeśli sztucznie dodać określenie symbolu x/0, to stanie się on pełnoprawnym bytem nowo utworzonej struktury z dodawaniem i „rozszerzonym mnożeniem”.

Myślę, że tyle o algebraicznym dzieleniu przez zero wystarczy, przynajmniej na razie.

(3) Quo vadis, ilorazie?

Jeśli odrzucimy nasuwające się jako pierwsze pomysły, bo w ułamku x/y za y podstawić 0, to otworzymy sobie drogę do zupełnie nowych możliwości. Zamiast łączyć za pomocą kreski ułamkowej dwie konkretne wartości i odczytywać wynik nominalnie, posłużmy się następującym chwytem. Interpretujmy iloraz jako porównanie dwóch wielkości – wynik 4/2 = 2 oznacza, że liczba na górze jest dwa razy większa od tej na dole. 8/8 = 1 to znak, że obie wielkości są takie same. 5/10 = 0,5 co odczytujemy jako dwukrotną przewagę mianownika nad licznikiem. 0/9 = 0, czyli licznik nie jest żadną częścią mianownika. „6/0” nie ma sensu liczbowego (patrz (2)) i jako taki nie daje nam szansy na zinterpretowanie.

Zastanówmy się, co możemy powiedzieć o stosunku dwóch zmiennych wielkości. Oczywiście, jeśli zmieniają się w sposób nieprzewidywalny, to żadnych praw nie sformułujemy – raz licznik może być 300 razy większy od mianownika, przy innej okazji będzie 100 razy mniejszy. Skupmy się zatem na ilorazie obiektów zmieniających się deterministycznie. Na przykład niech w liczniku stoi 2x, a w mianowniku x: (2x)/x, x>0. Zaobserwujmy zachowanie się ilorazu, gdy przechodzić będziemy od małych wartości x do coraz większych. W naszym przykładzie niezależnie od tego, co dodatniego podstawimy za x, wynikiem dzielenia będzie 2. Oznacza to, że górna wartość zawsze będzie dwukrotnie większa od dolnej i bez znaczenia jest tu informacja, jak duże wartości osiągnie x. Wkroczyliśmy tu w obszar zainteresowań analizy matematycznej, a mianowicie zbadaliśmy graniczne zachowanie się pewnego wyrażenia. Powyższy wynik zapisuje się:

(2x)/x ---> 2 (2x dzielone przez x dąży do 2 gdy x dąży do nieskończoności).

„x dąży do nieskończoności” nie oznacza, że x zbliża się do jakieś liczby o wartości „nieskończoność”, ale że możemy uczynić go dowolnie wielkim.

Weźmy bardziej złożony przykład, ale ze stałym mianownikiem: (1-x)/2 (1 minus x podzielić przez 2) gdzie x należy do odcinka od zera do jeden. Dla x=0 nasz ułamek jest równy 1/2. Stopniowo zwiększając x zauważamy, że wartość ilorazu zmienia się. Kilka przypadkowych punktów dla zobaczenia, co się dzieje:
x = 1/10, ułamek = 0,45
x = 1/5, ułamek = 0,4
x = 1/2, ułamek = 0,25
x = 3/4, ułamek = 0,125 etc.
Wynik maleje wraz ze wzrostem x. Jest to jasne i zrozumiałe, jeśli przyjrzymy się licznikowi: 1-x. Im bardziej zbliżamy się do x=1, tym bliższe zeru jest 1-x. Wynik badania oznacza się:

(1-x)/2 ---> 0 (1 minus x dzielone przez 2 dąży do zera gdy x dąży do jeden)

Należy to rozumieć następująco: licznik może być dowolnie mały, zatem „granicznie” nie będzie żadną częścią mianownika. Nie interesuje nas przy tym to, że x w końcu dojedzie do 1, zajmujemy się zachowaniem iksów dowolnie bliskich 1, ale nie równych 1. Dlaczego tak postępujemy (zamiast raz a dobrze podstawić 1 do wzoru), pokazuje ostatni, trzeci przykład.

1/(1/x) (jeden dzielony przez 1/x) x>0. Zapis ten oznacza, że dzielimy 1 przez coraz mniejsze liczby. I tak:
x = 1, ułamek = 1
x = 2, ułamek = 2
x = 3, ułamek = 3
x = 4, ułamek = 4
x = 8,2342, ułamek = 8,2342 etc.

Im dalej z x, tym większa jest wartość ilorazu. Dzielimy przez coraz mniejsze liczby, które mogą stać się „nieskończenie małe” to znaczy tak małe jak sobie zażyczymy. Całość może osiągnąć dowolnie duże rozmiary, wystarczy tylko odpowiednio długo zwiększać x. Taki wynik oznacza się:

1/(1/x) ---> ∞ (jeden dzielony przez 1/x dąży do nieskończoności gdy x dąży do nieskończoności)

Co to znaczy? Nie jest równoznaczne z tym, że kiedyś osiągniemy „nieskończoność”, ani nawet, że kiedykolwiek podzielimy 1 przez 0. Te „przejście”graniczne które zapisałem, to umowne zapisanie powyższych wniosków. Nie możemy powiedzieć, że dzieląc przez zero otrzymaliśmy nieskończoność, bo nigdy tego dzielenia nie dokonaliśmy! „Zachowanie w nieskończoności” to konsekwencja sekwencji warunków, a nie byt sam w sobie.

Podsumowując – przy badaniu granicznych zachowań obiektów może pojawić sie zarówno zero jak i nieskończoność (jako „wartość” i jako cecha – nieskończenie małe itp.). Ponieważ interesuje nas wynik będący następstwem pewnych zachowań, nie są to jednak byty abstrakcyjne, tylko oznaczenia. Nieskończenie mały x w przyjętej powyżej konwencji oznacza x dążący do 0.


--------------------
Mam nadzieję, że pomogłem. Te dwie drogi opisane powyżej wydają mi się najbardziej sugestywne. Nie znaczy to, że nie ma innych...

EDIT: Troszkę formatowania, ale "cytowanie" i tak nie chce działać...

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 12.10.2008 o 03:10, Matteos napisał:

>/.../> --------------------
Mam nadzieję, że pomogłem. Te dwie drogi opisane powyżej wydają mi się najbardziej sugestywne.
Nie znaczy to, że nie ma innych...

Taaak.
Ułatwiłeś mi zrozumienie, chociaż z wielkim trudem podążałem za Twoim tokiem rozumowania.
I od razy nasunęły mi się nowe wątpliwości: przecież, o ile pamiętam, różniczkowanie też oparte jest na "wartościach dążacych do" granicy. I z jakimże pozytywnym skutkiem! Dlaczegoż więc tak mało mówi się (a przynajmniej ja o tym nie wiem) o działaniach na wartościach dążacych do zera?
Tak, wiem, że znowu wykazuję nadmierną ciekawość i brak matematycznego wykształcenia....
Ale sam jesteś sobie winien: "nie znaczy to, ze nie ma innych [dróg]"

Dnia 12.10.2008 o 03:10, Matteos napisał:


EDIT: Troszkę formatowania, ale "cytowanie" i tak nie chce działać...

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 12.10.2008 o 03:10, Matteos napisał:

Niewtajemniczonych spławia się tekstami „nie można dzielić przez zero”, „nie da się”, „to jest
niedozwolone” itd. z dogmatycznym uzasadnieniem – „bo tak”.

Myślę, że można to próbować wytłumaczyć posługując się rachunkiem macierzowym, gdzie nie istnieje coś takiego jak dzielenie, lecz mnożenie przez macierz odwrotną, tj. taką, że A*A^(-1)=I, gdzie A to przykładowa macierz, a I to macierz jednostkowa. Jednym ze sposobów odwracania macierzy jest zapis (dla uproszczenia użyję tylko 3 wierszy):
[a11, a12, a13 | 1, 0, 0]
[a21, a22, a23 | 0, 1, 0]
[a31, a32, a33 | 0, 0, 1]
który polega na wykonywaniu takich operacji (mnożenia przez liczbę <>0, bo nie otrzymamy 1 i dodawania do siebie wierszy) na wierszach, że otrzymujemy po lewej stronie macierz jednostkową, natomiast po prawej odwrotną do A:
[1, 0, 0 | a^(-1)11, a^(-1)12, a^(-1)13]
[0, 1, 0 | a^(-1)21, a^(-1)22, a^(-1)23]
[0, 0, 1 | a^(-1)31, a^(-1)32, a^(-1)33]
A rachunek liczbowy to nic innego, jak operacje na macierzach o wymiarach 1x1, czyli:
[0 | 1] należy sprowadzić do [1 | ?], co sprowadza się do pytania: przez co należy przemnożyć zero, żeby otrzymać 1?

P.S. Wiem, że świetnie orientujesz się w tematyce, którą tu poruszyłem (proszę o sprostowania, jakby co), ale piszę również z myślą o innych forumowicz(k)ach zainteresowanych tą problematyką.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 12.10.2008 o 11:23, KrzysztofMarek napisał:

Ułatwiłeś mi zrozumienie, chociaż z wielkim trudem podążałem za Twoim tokiem rozumowania.
I od razy nasunęły mi się nowe wątpliwości: przecież, o ile pamiętam, różniczkowanie
też oparte jest na "wartościach dążacych do" granicy. I z jakimże pozytywnym skutkiem!
Dlaczegoż więc tak mało mówi się (a przynajmniej ja o tym nie wiem) o działaniach na
wartościach dążacych do zera?


Cóż, dobrodziejstwa postępu. Pochodną w danym punkcie rzeczywiście definiuje się jako granicę. Ale jak to często bywa, między suchą definicją a zastosowaniami praktycznymi jest przepaść. Dlatego naturalne wydaje się dążenie do upraszczania narzędzi bez utraty ich pewności - im coś jest prostsze, tym przydatniejsze. Analizując różne pochodne odnaleziono analogie między granicami pewnych grup funkcji, stąd pomocnicze tabelki-ściągawki np. (pierwsza lepsza znaleziona przez Google) http://www.math.edu.pl/pochodne-funkcji-elementarnych . Wraz z dodatkowymi prawami różniczkowania sum, różnic, iloczynów, ilorazów i złożeń dało to kompletny mechanizm pozwalający ograniczyć, a czasami całkowicie wykluczyć z rozumowań definicję. I tak na przykład nikt nie posługuje się rozumowaniem granicznym dla wielomianów: pochodna sumy to suma pochodnych, a pochodna wyrażenia x^b to b*x^(b-1). Jeśli chcesz, mogę to zilustrować na przykładzie, tzn. policzyć coś „z definicji”, a potem „narzędziami” i pokazać różnicę tych podejść- naturalnie nie w tekście posta, bo będzie to absolutnie nieczytelne. Innym powodem jest to, że tam, gdzie dochodzi się za pomocą granic czasami można się dostać innymi sposób. Przykładowo badacze, których wypadałoby nazwać przodkami dzisiejszych mikro ekonomistów na długo przed teorią granic „chałupniczymi” metodami doszli do czegoś, co w sprzyjających warunkach jest odpowiednikiem dzisiejszej pochodnej, a opiera się na takich elementach, jak ceny i ilość towaru. Informowanie w większym lub mniejszym stopniu o „nieskończenie małych” jest kwestią przyjętego programu – podobnie jest z innymi zagadnieniami z rachunku różniczkowego i całkowego. Istnieją nawet bardzo proste funkcję, dla których nic finezyjnego nie działa i trzeba pieczołowicie badać ich zachowania graniczne, ale w praktyce przeważają przypadki „porządne”. Z tego powodu różne zajęcia profilowane mogą się skupiać tylko na nich. Popatrzmy szerzej. Dla ekonomistów w zastosowaniach właściwie nie istnieje coś takiego jak funkcja niemierzalna (mniejsza z tym, co to jest). Meteorolodzy posługują się twierdzeniami o odwzorowaniach uwikłanych świadomie… ignorując część założeń jako zachodzących „zawsze” (a potem się dziwić, że prognoza pogody się nie sprawdza, hehe). Komputery szukają miejsc zerowych metodami numerycznymi, to znaczy brutalnie przybliżają rozwiązanie aż do uzyskania odpowiedzi z odpowiednio małym błędem np. microsoftowy Excel w poleceniu IRR wykonuje 20 prób iteracyjnych i szuka wyniku z dokładnością 0,00001. We wszystkich tych przypadkach szeroko pojęte względy praktyczne przysłoniły zaplecze teoretyczne. I tak też jest z operacjami na „nieskończenie małych”. Inna sprawa, kto i dlaczego decyduje o doborze programu. Może na zasadzie „bo sobie krzywdę zrobią”? W ramach ciekawostek na ten temat: słyszałeś o aksjomacie wyboru (pewniku wyboru, zermelowskim etc.)? Jest to aksjomat z teorii zbiorów, który u mniej zaawansowanych użytkowników Sztuki wywołuje zmieszanie przez możliwe do uzyskania z jego pomocą „paradoksy” (np. http://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Banacha-Tarskiego). Z tego względu tam gdzie to możliwe, unika się go. Niby nic nadzwyczajnego (jakieś tam zagadnienie z kosmosu, kogo to obchodzi), ale aksjomatu tego używa się niejawnie w standardowym kursie szkolnym. Gdyby jakiś uczeń uznał, że nie będzie uznawał pewnika – co jest możliwe, bo to przecież niezależny aksjomat – to tym samym połowa programu nadawałaby się na śmietnik. Jeśli kogoś to interesuje, mogę podać szczegóły. Eee, chyba nie czyta tego jakiś maturzysta...?

Dnia 12.10.2008 o 11:23, KrzysztofMarek napisał:

Ale sam jesteś sobie winien: "nie znaczy to, ze nie ma innych [dróg]"


Heh, jeśli przy okazji kogoś uda mi się czegoś pożytecznego nauczyć, to za taką „winę” mogę odpowiadać. Ba, przyznam się i pójdę na ugodę z prokuratorem.

Treant

Dnia 12.10.2008 o 11:23, KrzysztofMarek napisał:

Myślę, że można to próbować wytłumaczyć posługując się rachunkiem macierzowym, gdzie nie istnieje coś takiego jak dzielenie


Ostrożnie z nazewnictwem. Termin "dzielenie macierzy" jest czasem spotykany - zajrzyj np. do V rozdziału książki "Zasady algebry wyższej" Wacława Sierpińskiego z 1946 roku (podaję akurat ją, bo jest dostępna bezpłatnie w formie zdigitalizowanej o możesz od razu sprawdzić: http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=11&wyd=10&jez= ).

Dnia 12.10.2008 o 11:23, KrzysztofMarek napisał:

co sprowadza się do pytania: przez co należy przemnożyć zero, żeby otrzymać 1?


Idea jest dobra z dokładnością do kilku ważnych szczegółów. Rozdzielmy na chwilę dwie interesujące nas cechy Twojego pomysłu - poprawność i wartość dydaktyczną. Do obu mam zastrzeżenia.

Jeśli chodzi o poprawność, to naturalnie nie mam tu na myśli braków formalnych (w końcu sobie tylko rozmawiamy na forum i nie ma co się oburzać na brak ścisłości) tylko dość poważną lukę merytoryczną. Mam coś do dodania do jednego miejsca w wywodzie. Napisałeś, że rachunek na liczbach (przy czym chodzi nam głównie o mnożenie) to jest to samo, co rachunek ma macierzach o wymiarach 1 na 1. Nie wiem na ile świadomie dokonałeś takiego utożsamienia, dlatego napiszę formalniej niż zwykle. Niestety, tym razem miejscami będzie mało przystępnie - tak jest cena ścisłości. Wykonałeś następujący ciąg operacji: zacząłeś od zdefiniowania elementu odwrotnego do macierzy w sensie mnożenia (uznając samą operację mnożenia macierzowego za znaną), podałeś jeden z możliwych algorytmów jej otrzymywania, następnie ograniczyłeś się do macierzy jeden na jeden i poprzez wskazanie na analogię z mnożeniem liczb zwróciłeś uwagę na niemożliwe do pokonania techniczne trudności z ewentualnym "dzieleniem przez zero". Zwykłym czepialstwem byłoby zarzucanie takich rzeczy jak np. to, że nie podałeś, do jakiego ciała należą elementy w macierzy. Mój zarzut jest poważniejszy: a priori nie mamy żadnego prawa mówić, że grupa macierzy 1 na 1 o elemencie z ciała liczbowego, dajmy na to R (liczby rzeczywiste) wraz ze standardowym mnożeniem macierzy to jest to samo, co grupa liczb z R wraz z ich mnożeniem. Patrząc na definicje to przecież dwie zupełnie różne struktury! W jednym ręku trzymamy macierzowe tablice z danymi (a macierz to przecież... funkcja określona na iloczynie kartezjańskim), w drugim liczby. Naszym celem jest (intuicyjnie dość jasne) pokazanie, że jeśli pomnożymy macierze [a11] i [b11] i uzyskamy przez to macierz [c11], to w odpowiednim ciele liczbowym zachodzić będzie a11 * b11 = c11 (gdzie oznaczenia te to już "tylko" liczby) i na odwrót. Wbrew pozorom to nie jest takie oczywiste, jeśli nie myślimy o macierzy jako o czysto "graficznej" tablicy tylko o funkcji. Owszem, każdy zdrowo myślący człowiek z pewnością powie, że to jest przecież to samo, zmieniają się tylko graficzne ramki sygnalizujące, gdzie jeszcze jest macierz, a gdzie już liczba. Ale to agitacja. Taki fakt można podać np. na wykładzie dla średniozaawansowanych studentów, ale już nie dla licealistów. Robi się to wtedy, gdy słuchacze mają już na tyle wprawy, by samemu sobie dorobić uzasadnienie. Aby mówić o jakimkolwiek dowodzie, trzeba posłużyć się następującym narzędziem - pokażemy, że dwa obiekty A i B są identyczne pod względem algebraicznym (tzn. mają taką samą strukturę i różnią się najwyżej oznaczeniami elementów) jeśli udadzą się nam dwie rzeczy: 1) utożsamimy jeden do jednego wszystkie elementy A z wszystkimi elementami B 2) pokażemy, że dane działanie w A jest tożsame z działaniem w B. Bardziej formalnie: jeśli znajdziemy funkcję różnowartościową i "na" przekształcającą A na B, zachowującą dane działanie. Taka funkcja nazywa się izomorfizmem, a dwie struktury takie same pod względem algebraicznym - izomorficznymi. W naszym przypadku poszukiwana funkcja narzuca się sama: F: M --> R, F[m]=m11 (funkcja F ze M do R dana wzorem F[m]=m11, gdzie M - zbiór wszystkich macierzy 1 na 1 o wyrazach rzeczywistych, R - liczby rzeczywiste, m - element postaci [m11] należący do M). Inaczej mówiąc jest to "wyjmowanie" z macierzy 1x1 jej jedynego współczynnika. Dopiero po formalnym pokazaniu (czysto technicznym), że F rzeczywiście jest izomorfizmem możemy powiedzieć, że "rachunek liczbowy to nic innego, jak operacje na macierzach o wymiarach 1x1". Jak widać, z niewinnego zdania zrobiło się coś większego. Ja zacząłem od abstrakcyjnej definicji i dla jasności przeszedłem do operowania na konkretnym przypadku, w którym posługiwałem się pojęciami podanymi wcześniej w pełnej ogólności. Twoja droga przebiega inaczej - wykazałeś coś na jednym bycie i chciałeś przerzucić wynik na inny o tej samej strukturze. Oba podejścia są tak samo poprawne, a stanowią tylko atak na problem z innej pozycji.
 
Teraz walory dydaktyczne. Jak dla mnie żadna z dróg (moje (2), (3), Twoje operacje na macierzach) nie nadaje się do tłumaczenia "z marszu". Wszystkie operują pojęciami o wysokim poziomie abstrakcji i wymagają niebanalnego wysiłku intelektualnego. Należy też zauważyć, że w każdym "zero" znaczy coś innego w zależności od tego, jak patrzymy: symbol formalny, graniczny stosunek dwóch wielkości, "nic", element ciała liczbowego, element grupy etc. Dlatego stosowanie jednego czy drugiego sposobu tłumaczenia jest uzależnione od konkretnego przypadku i odpowiedzi na pytanie: co właściwie chcemy pokazać? Z tym, że akurat rachunku macierzowego bym się wystrzegał - bardzo trudno jest się bez przygotowania po raz pierwszy przebić przez definicję mnożenia macierzy. A dopiero po poznaniu jej w ogólnej postaci można potem ograniczać jej zasięg do malutkich 1x1.
 
---------------------------------- 
Na koniec mała uwaga - to, co piszę, to za każdym razem "moim zdaniem", a nie prawda objawiona, dlatego jeśli ktoś wyłapie błędy, niech da znać.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 17.10.2008 o 00:31, Matteos napisał:

przypadku i odpowiedzi na pytanie: co właściwie chcemy pokazać? Z tym, że akurat rachunku
macierzowego bym się wystrzegał - bardzo trudno jest się bez przygotowania po raz pierwszy
przebić przez definicję mnożenia macierzy. A dopiero po poznaniu jej w ogólnej postaci
można potem ograniczać jej zasięg do malutkich 1x1.


Wybaczcie, że się wtrącę, chociaż do tej pory się nie wypowiadałem. Nie mogę się zgodzić całkowicie. Myślę, że do takiego prostego przedstawienia, jakiego próbował Treant, jak najbardziej można posłużyć się macierzami, bo wytłumaczenie jak się je mnoży nie będzie wcale takie trudne. Przynajmniej nie jeśli tłumaczymy komuś znającemu podstawy matematyki i dość inteligentnemu (a wiemy, że KrzysztofMarek te warunki spełnia bez problemów).
Po pierwsze możemy na wstępie zastrzec, że ograniczymy się do macierzy o identycznej liczbie wierszy co kolumn. Pozwala nam to odpuścić sobie pewne zasady mnożenia macierzy (np. to, że normalnie mnożenie macierzy nie jest symetryczne). Następnie na prostych macierzach 2x2 albo 3x3 możemy zademonstrować jak się macierze mnoży.
Żeby nie być gołosłownym, spróbuję tutaj to wyjaśnić tutaj. Zobaczymy czy mi się uda:
Otóż jeżeli mamy dwie macierze 3x3, to macierz będąca ich iloczynem będzie również miała wymiary 3x3, a jej poszczególne elementy trzeba wyliczyć. Liczy się w ten sposób, że dla każdego elementu macierzy wynikowej ustala się, w którym wierszu i której kolumnie będzie się znajdował, a potem przemnaża przez siebie po kolei elementy z tego samego wiersza pierwszej macierzy przez odpowiadające im kolejnością elementy tej samej kolumny.
Jeżeli macierze wyglądają tak:
[a11, a12, a13] [b11, b12, b13]
[a21, a22, a23] [b21, b22, b23]
[a31, a32, a33] [b31, b32, b33]
jak widzimy indeksy oznaczają kolejno wiersz i kolumnę.
Dla macierzy wynikowej elementy będą wyglądały tak:
c11=a11*b11+a12*b21+a13+b31
c12=a11*b12+a12*b22+a13*b32
...
c32=a31*b12+a32 *b22+a33*b32
c33=a31*b13+a32*b23+a33*b33

I na wytłumaczeniu tego polega główny problem.
Potem spokojnie można pokazać, że dla macierzy 1x1 mnożenie wygląda tak:
[a11] * [b11] = [c11=a11*b11]
I tyle, ponieważ nie ma innych elementów. A to już pozwala nam stwierdzić, że jeśli coś możemy pokazać na macierzach, to prawdziwe jest również dla macierzy jednoelementowych, czyli zwyczajnych liczb.
Uważam, że to nie jest szczególnie trudne. Macierzy kwadratowych trzeciego stopnia i liczenia ich wyznacznika prostą metodą naucza się na niejednych studiach w których programie jest matematyka. O studiach matematycznych nie wspominając - tam operuje się na macierzach nxn.

Inna sprawa, że nie bardzo wiem po co to wszystko, bo różnicy między elementami nieskończenie małymi a zerem nie tłumaczy nijak. Pozwala jedynie pokazać, że 0 nie ma elementu odwrotnego, a wydaje mi się, że to za dużo wysiłku dla czegoś takiego. Zgadzam się więc absolutnie, że dużo lepiej tłumaczyć to na granicach. Zwłaszcza, że operowania limesami naucza się już w szkołach średnich, a z macierzami wiele osób nawet na studiach się nie zetknie. Tylko nie mogę się zgodzić, że rachunek macierzowy w dość uproszczonej formie będzie tak ciężki do wytłumaczenia. Oczywiście trzeba założyć pewną inteligencję u osoby, której się tłumaczy. Widywałem już studentów (na kierunkach technicznych), którzy nie potrafili po paru wykładach zrobić podstawowych rzeczy. I jeśli mówię "podstawowych" to mam na myśli, np. coś takiego: podstawy ekonomii, z trzech elementów - salda przed operacją, salda po operacji i samej operacji - dane są dwa. Podać trzeci.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 17.10.2008 o 13:50, pkapis napisał:

/.../

Tja… Widzisz, kiedyś, dawno temu, kiedy byłem jeszcze piękny i młody, to i prosto rozumowałem. A mianowicie tak (wybacz naiwność młodzieńca):
- skoro „0”jest nieskończenie małe, to kiedy jakąkolwiek liczbę podzielimy przez zero, to otrzymamy nieskończenie wielką. A jak nieskończenie wielką pomnożymy przez zero, czyli wykonamy działanie odwrotne, to możemy otrzymać to, co nam aktualnie potrzeba, czy to będzie siedem, tysiąc czy sto siedemdziesiąt pięć miliardów. I tak sobie tłumaczyłem, dlaczego nie można dzielić przez zero. Potem zrozumiałem, ( przy okazji różniczkowania) że zero to nie jest wielkość nieskończenie mała, tylko jej wcale nie ma. I choćbyśmy nie wiem jak zwiększali mianownik ułamka, to zbliżymy się do zera, ale go nigdy nie osiągniemy. Niestety, z wiekiem być może poszerzyły mi się tak ogólnie „horyzonty” ale wiadomości z matematyki zanikały – bo też i nie były potrzebne w życiu (te, które były przydatne, pamiętam). To, co kiedyś wiedziałem o macierzach – zanikło. O różniczkach i całkach też. Być może przypomniałbym sobie co nieco, ale z wielkim trudem, co przyznaję bez bicia. Dlatego też trzeba TRAKTOWAĆ MNIE JAK ABSOLUTNEGO IGNORANTA W MATEMATYCE I JEŚLI COŚ TŁUMACZYĆ, TO TAK, JAK CHŁOP KROWIE NA ROWIE… Niestety… O ile wywód Matteosa z trudem zrozumiałem, to Treanta już tylko prawie zrozumiałem. Prawie, czyni wielką różnicę. A do Twojego wywodu już się nie ustosunkuję. Może myśląc nieustannie przez dwa dni będę wiedział, o co Ci chodzi. Ale nie mam dwóch dni na myślenie. To znaczy mógłbym mieć, ale mam inne „prace domowe”. Oczywiście lepiej byłoby dyskutować „twarzą w twarz” – pewnie szybciej bym pojął. Reasumując – przeceniłeś moje zdolności matematyczne ;D Jestem tylko farmaceutą. Muszę matematykom wierzyć na słowo.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

witam, w poniedziałek mam klasówke z planimetrii i chciałbym poćwiczyć, ale niemam skąd brać zadań, ma ktoś może jakąś stronke z zadaniami, albo mógłby wymyśleć kilka prostych z zastosowaniem tożsamości, czy funkcji trygonometrycznych?

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 18.10.2008 o 16:57, KrzysztofMarek napisał:

O różniczkach i całkach też. Być może przypomniałbym sobie co nieco, ale z wielkim trudem,
co przyznaję bez bicia. Dlatego też trzeba TRAKTOWAĆ MNIE JAK ABSOLUTNEGO IGNORANTA W
MATEMATYCE I JEŚLI COŚ TŁUMACZYĆ, TO TAK, JAK CHŁOP KROWIE NA ROWIE… Niestety…


To rozumiem. Ale nadal uważam, że jesteś człowiekiem inteligentnym, a takim łatwiej tłumaczyć.

Dnia 18.10.2008 o 16:57, KrzysztofMarek napisał:

O ile wywód Matteosa z trudem zrozumiałem, to Treanta już tylko prawie zrozumiałem. Prawie,
czyni wielką różnicę. A do Twojego wywodu już się nie ustosunkuję. Może myśląc nieustannie
przez dwa dni będę wiedział, o co Ci chodzi.


A bo ze mnie też taki nauczyciel jak z jeża szczotka do włosów. :-)
Jak już napisałem w poprzednim poście, zgadzam się z Matteosem, że lepiej to tłumaczyć na granicach. To co napisałem, było raczej skierowane do niego, żeby pokazać co należałoby IMO zaprezentować przy tłumaczeniu rachunku macierzowego. I że taki rachunek jest nauczany na studiach innych niż matematyczne w nieco uproszczonej formie, na pierwszym roku, w oparciu o wiedzę ze szkoły średniej. Teoretycznie pokazanie osobie z maturą jak się liczy iloczyn macierzy powinno zająć kilka godzin, ale mamy tutaj ukryte założenie, że matura została zdana niedawno.

Dnia 18.10.2008 o 16:57, KrzysztofMarek napisał:

Ale nie mam dwóch dni na myślenie. To znaczy
mógłbym mieć, ale mam inne „prace domowe”. Oczywiście lepiej byłoby dyskutować
„twarzą w twarz” – pewnie szybciej bym pojął. Reasumując – przeceniłeś
moje zdolności matematyczne ;D


Nie tyle przeceniłem, bo jestem pewien, że gdybyśmy usiedli gdzieś razem i mieli kilka godzin - powiedzmy w pubie przy piwku - to wytłumaczyłbym Ci podstawy macierzy tak, że byś zrozumiał je i sam mógł liczyć pewne rzeczy, albo szybko stwierdzać, że czegoś się policzyć nie da.
Główny problem jaki pojawia się na forum to grafika. Macierze są obiektami wieloelementowymi i ciężko je tutaj przedstawić. Ja w tamtym poście kilka razy kasowałem fragment z obliczeniami, bo nie podobało mi się to, jak się prezentował. Przy takim medium, jakim jest forum, ciężko jest tłumaczyć matematykę w sposób przejrzysty.

Dnia 18.10.2008 o 16:57, KrzysztofMarek napisał:

Jestem tylko farmaceutą. Muszę matematykom wierzyć na słowo.


Ja jestem inżynierem i niedoszłym matematykiem, który musi farmaceutom wierzyć na słowo. Można więc powiedzieć, że jesteśmy w podobnej sytuacji.


Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 20.10.2008 o 13:30, pkapis napisał:

> /.../ gdybyśmy usiedli gdzieś razem i mieli kilka
godzin - powiedzmy w pubie przy piwku - to wytłumaczyłbym Ci podstawy macierzy tak, że
byś zrozumiał je /.../

O tak! Po 6 piwach to zrozumiałbym bez tłumaczenia, tylko potem bym już nie pamiętał ;-D

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

krótko ;)

1. 2|x-3|=x

2. x^2-10x+25<3 gdzie x^2-10+25 jest pod pierwiastkiem a < oznacza mniejsze bądź równe

3. x<|x-2|

poprosiłbym o to na dzisiaj ;) z góry dzieki

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 04.11.2008 o 20:22, GANGSTERR napisał:

poprosiłbym o to na dzisiaj ;) z góry dzieki

A ja prosiłbym o przelanie na moje konto miliona dolarów, dzięki.

-,-

Sam zrób to zadanie. Żeby trochę Ci rozjaśnić napiszę, że:
|cośtam| = coś rozpisujemy -> cośtam = coś lub cośtam = -coś
|cośtam| <= coś -> cośtam <= coś i cośtam >= -coś
Sqrt(cośtam^2) = |cośtam|
(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2

Mając to bez problemu sam rozwiążesz te zadania.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

BOZE jak ja nienawidze mate,matyki, MASAKRA!!!! teraz sie uczymy opolu i objetosci stozka i kuli i niby proste ale jednak strasznie nudne i ogolnie LIPAxdd
3 gim Więc luz na razie ale niedługo sie zacznie bo liceum/zawodówa:P

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 04.11.2008 o 20:52, windows00 napisał:

> poprosiłbym o to na dzisiaj ;) z góry dzieki
A ja prosiłbym o przelanie na moje konto miliona dolarów, dzięki.

-,-

Sam zrób to zadanie. Żeby trochę Ci rozjaśnić napiszę, że:
|cośtam| = coś rozpisujemy -> cośtam = coś lub cośtam = -coś

|x|=a i bla bla (|x|=2; x=2 lub x=-2, wiem. BTW, na wikipedi juz to zrozumialej napisali

Dnia 04.11.2008 o 20:52, windows00 napisał:

|cośtam| <= coś -> cośtam <= coś i cośtam >= -coś

tez wiem..

Dnia 04.11.2008 o 20:52, windows00 napisał:

Sqrt(cośtam^2) = |cośtam|

tu nie wiem o co ci chodzi
>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
wzróz skroconego mnozenia, fajnie, tylko powiedz mi gdzie mam go zastować ? bo chyba nie w równaniu kwadratowym gdzie delta wychodzi 0 (czyli jest jedno rozwiazanie)..., pierwiastek = 5 i wychodzi ze 0<=3

Dnia 04.11.2008 o 20:52, windows00 napisał:

Mając to bez problemu sam rozwiążesz te zadania.


moze jestem tępy, ale nic mi to nie pomogło bo niby jak mam za pomoza tego rozwiązać mp. x<|x-2|. Problemem dla mnie jest ten x w wartosci bezwzglednej. Wiec jesli moglbys mnie oswietlić.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

Utwórz konto lub zaloguj się, aby skomentować

Musisz być użytkownikiem, aby dodać komentarz

Utwórz konto

Zarejestruj nowe konto na forum. To jest łatwe!


Zarejestruj nowe konto

Zaloguj się

Masz już konto? Zaloguj się.


Zaloguj się
Zaloguj się, aby obserwować