Matematyka

[hallas 0]

> Każda liczba podzielona przez siebie, daje w rezultacie 1. Zgadza się?
Wspomniałem już o tym, że nie ma czegoś takiego jak dzielenie - a zanim zaczniesz mnożyć przez liczbę odwrotną musisz pokazać, że ona istnieje.
> Każda liczba pomnożona przez zero, daje zero. Zgadza się?
Akurat trafiłeś.
> napisałeś sam, ze: 0*x=x*0=1 Zgadza się?
Tak napisałem, ale zauważ taki drobny szczegół, że przed tą formułą zadaje pytanie czy taki x istnieje - a tego "nie wiem".
> no to podstaw, zamiast x, 0/0 (zero, dzielone przez zero)
Nie ma czegoś takiego jak dzielenie! Nie w matematyce wyższej a o tym tu rozmawiamy w tej chwili.
> Zatem możesz licznik tego ułamka pomnożyć przez zero o sprowadzić to do postaci ułamka
> prostrzego,
Definicja symbolu ułamka wygląda tak, że w liczniku może się znajdować liczba całkowita a w mianowniku liczba naturalna (lub całkowita) z wyłączeniem zera ( http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_wymierne).
> cbdo (co było do okazania ;-P)
Brawo - popełniłeś przy tym tak wiele błędów... Z takim podejściem to dałoby się "udowodnić" dosłownie wszystko. Ale takie dowody nie wytrzymują krytyki - ten już po pierwszym zdaniu.

Musisz jeszcze trochę popracować nad tym "dowodem" - przede wszystkim nie łamać podstawowych definicji i zapamiętać raz na zawsze, że nie można w takich rozważaniach używać dzielenia.

[nero117 0]

matematyka najgorszy przedmiot

[hallas 0]

Tylko jedno sprostowanie - "nie ma czegoś takiego jak dzielenie" odnosi się do faktu, że działanie to jest efektem istnienia elementu odwrotnego dla każdej liczby rzeczywistej poza zerem i nie definiuje się go w sposób aksjomatyczny. Jeśli ktoś chciałby pokazać, że istnieje element odwrotny dla zera to nie może w swoim rozumowaniu z dzielenia przez zero korzystać bo wtedy tezę wykorzystuje jako założenie co jest nieprawidłowym sposobem rozumowania (nie można korzystać w trakcie dowodzenia z czegoś co właśnie chcemy udowodnić). Gdy zapomnimy o definiowaniu liczb rzeczywistych i będziemy się nimi posługiwać jak licealista to możemy używać dzielenia tak jak nas nauczono (zamiennie z symbolem ułamka itd.) ale z tą uwagą, że nie można dzielić przez zero. Dlaczego? By do tego dojść to już jednak należy przypomnieć sobie definicję liczb rzeczywistych... a na podstawie samej definicji, choć jest ona dość złożona (kilkanaście aksjomatów gdy nie posługujemy się terminologią z teorii pierścieni) to nie ma tam czegoś takiego jak "odejmowanie" czy "dzielenie". Są one pojęciami wtórnymi bazującymi na pewnych właściwościach, o które w definicji posądzamy ten zbiór.

Proszę się nie przejmować - w codziennych obliczeniach można używać tego wszystkiego swobodnie, ale z tą uwagą, że nie można swobodnie dzielić przez zero co niektórzy w tym temacie czynią nagminnie.

[Karister 0]

Witam kolegów,

Sorry, że się wrąbię w dyskusję, ale mam kłopot z pewnym zadaniem z probabilistyki. Ogólnie, mój problem sprowadza się do tego, że nie mogę się obliczyć, ile to jest całka z e^((x^2)/2) po dx. Ktoś ma jakiś pomysł? ;)

Pozdr.

[hans_olo 0]

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Sorry, że się wrąbię w dyskusję, ale mam kłopot z pewnym zadaniem z probabilistyki. Ogólnie,
mój problem sprowadza się do tego, że nie mogę się obliczyć, ile to jest całka z e^((x^2)/2)
po dx. Ktoś ma jakiś pomysł? ;)

S - znak całki
x^2/2=t
x^2=2t
x=sqrt(2t)
dx=sqrt(2)/2sqrt(t) dt
sqrt(2)/2 Se^t/sqrt(t) dt
dalej potraktuj to jako całka przez części z e^t przez 1/sqrt(t) i na końcu podstaw x^2/2 za t.

[Karister 0]

Dnia 11.11.2008 o 12:59, hans olo napisał:

dalej potraktuj to jako całka przez części z e^t przez 1/sqrt(t) i na końcu podstaw x^2/2
za t.

Nie bardzo widzę, co mi da to całkowanie przez części. W dalszym ciągu będę miał wyrażenie S[(e^t)*f(t)], gdzie f(t) nie będzie funkcją stałą. Wydaje mi się, że całkowanie przez części miałoby sens, gdyby to było na przykład t*e^t. Wtedy czynnik t by "zniknął" (a raczej był w potędze 0 dając stałą równą 1). A tak pozostaje w takiej czy innej potędze niezerowej i historia się powtarza.

[hans_olo 0]

Dnia 11.11.2008 o 13:46, Karister napisał:

Nie bardzo widzę, co mi da to całkowanie przez części. W dalszym ciągu będę miał wyrażenie
S[(e^t)*f(t)], gdzie f(t) nie będzie funkcją stałą. Wydaje mi się, że całkowanie
przez części miałoby sens, gdyby to było na przykład t*e^t. Wtedy czynnik t by "zniknął"
(a raczej był w potędze 0 dając stałą równą 1). A tak pozostaje w takiej czy innej potędze
niezerowej i historia się powtarza.

Oj słabiutko ;]
sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t)) dt= sqrt(2)/2*e^t*(1/sqrt(t)) - sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t)) dt
Z prostego przekształcenia równania (przenosimy na lewą stronę całkę z prawej) wynika, że:
sqrt(2)Se^t*(1/sqrt(t)) dt= sqrt(2)/2*e^t*(1/sqrt(t))
Po podzieleniu przez 2 obu stron równania:
sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t)) dt= sqrt(2)/4*e^t*(1/sqrt(t))

Cały myk polega na tym by zróżniczkować tą część całki, która nam bardziej ku temu odpowiada :D. Jak popełniłem błedy to mam nadzieję, żę ktoś mnie poprawi. Egzamin z całek miałem... hohoho - dawno temu :)

[Karister 0]

Dnia 11.11.2008 o 13:55, hans olo napisał:

Oj słabiutko ;]

czepiasz się. ;]

Dnia 11.11.2008 o 13:55, hans olo napisał:

sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t)) dt= sqrt(2)/2*e^t*(1/sqrt(t)) - sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t))
dt

tak zrobiłem. :]

Dnia 11.11.2008 o 13:55, hans olo napisał:

Z prostego przekształcenia równania (przenosimy na lewą stronę całkę z prawej) wynika,
że:
sqrt(2)Se^t*(1/sqrt(t)) dt= sqrt(2)/2*e^t*(1/sqrt(t))

o tym już nie pomyślałem ;[

Dnia 11.11.2008 o 13:55, hans olo napisał:

sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t)) dt= sqrt(2)/4*e^t*(1/sqrt(t))

Teraz cały tok rozumowania mi pasuje, ale wynik jednak budzi wątpliwości. Po pierwsze pochodna z tego nie bardzo daje wyrażenie pod całką (uwzględniam stała w postaci sqrt(2)/2). Chociaż tutaj to ja mogę się machnąć w liczeniu. Jednak, gdybym teraz zechciał policzyć pole pod wykresem f-cji f(x)=sqrt(2)/4*e^t*(1/sqrt(t)) , gdzie t=(x^2)/2 po obszarze [0; 1], wychodzi dzielenie przez 0. :D

W każdym razie już sobie poradzę. ;) Przejrzę to jeszcze raz, teraz już wiem co i jak. Jednak to potem, nie chce mi się już na to patrzeć. Możliwe, że gdzieś coś zamotałem przepisując to tu to tam. Dzięki za pomoc. ;)

[hans_olo 0]

Szczerre mówiąc nie mam pojęcia co zrobić z zerem w mianowniku. Możliwe, że się kropłem, albo jest jakaś inna metoda, która daje bardziej przystępną postać wynikową (choć w zasadzie nawet jeśli taka istnieje, to jeśli powyższe jest ok. to i ta druga będzie miała taką samą dziedzinę).

[Karister 0]

Dobra,nieważne. :D

Chciałem, by było ładnie od początku do końca policzone, ale dałem sobie na luz. Całka ta wynosi [1+erf(x/pi)] i jest stablicowana. :P Myślałem, że uda się ambitnie samemu wszystko policzyć, ale chyba nie warto. :D

W każdym bądź radzie całkowanie z Tobą było bardzo fajne. ;)

[hans_olo 0]

Dnia 11.11.2008 o 15:01, Karister napisał:

[1+erf(x/pi)]

O masakra. Szalenie ciekaw jestem jak to uzyskać. To ma jakąś nazwę?

[Karister 0]

Dnia 11.11.2008 o 15:07, hans olo napisał:

O masakra. Szalenie ciekaw jestem jak to uzyskać.

Taa... doprawdy jest to wręcz nieprawdopodobnie interesujące... :D

>To ma jakąś nazwę?
No, ba! Myślisz, że ci szaleni matematycy mogliby czegoś nie nazwać? Czekaj... znajdę ponownie tą stronę w książce... Acha! Ta całka to dystrybuanta dowolnego rozkładu normalnego ustandaryzowanego do rozkładu normalnego N(0, 1). :] Sama funkcja erf to funkcja błędu. Cokolwiek by to nie znaczyło. ;)

W każdym razie, jeśli wiesz, że średni wzrost kobiet wynosi dajmy 165cm, a odchylenie standardowe tej wartości wynosi powiedzmy 15cm, możesz z tej całki policzyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana kobieta będzie miała wzrost na przykład od 151 do 154cm. Wprost niesamowite, ile to rzeczy można policzyć. :]

[Matteos 0]

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Sorry, że się wrąbię w dyskusję, ale mam kłopot z pewnym zadaniem z probabilistyki. Ogólnie,
mój problem sprowadza się do tego, że nie mogę się obliczyć, ile to jest całka z e^((x^2)/2)
po dx. Ktoś ma jakiś pomysł? ;)

Jeśli to standardowe (tzn. „niegwiazdkowe” i spreparowane do celów dydaktycznych, a więc nie wynikające z rzeczywistych problemów) zadanie probabilistyczne, to na 99% przekombinowałeś i nie jest ci potrzebny wzór explicite na taką całkę nieoznaczoną. Najpewniej wystarczy odpowiednio posłużyć się dystrybuantą rozkładu normalnego i tablicami umieszczonymi na końcu każdego podręcznika do rachunku prawdopodobieństwa. Rachunki których się podejmujesz wymagają znajomości funkcji błędu erf(x) i jego zespolonego brata erfi(x).

Niemniej jednak problem postawiłeś tak, a nie inaczej, zatem odpowiadam. Do posta dołączam dwa wyniki (ten z minusem jako bonus). Całka nad którą się głowisz jest nieelementarna tzn. nie wyprowadzisz analitycznie „prostego” wzoru do podstawienia dowolnego x. Tak jak z gęstością gaussowską (1/sqrt(2*π))*exp(-(x^2)/2) – w paru przypadkach znamy wartości całki, w reszcie konieczna jest zabawa numeryczna.

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Myślałem, że uda się ambitnie samemu wszystko policzyć, ale chyba nie warto. :D

Taką metodą nie warto, ale lepiej poszukaj bardziej optymalnego rozwiązania. Zachęcam do cofnięcia się kilka kroków wstecz, zanim wyskoczyła ta całka.

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Całka ta wynosi [1+erf(x/pi)]

Niemożliwe. Erf(x) przyjmuje wartości od -1 do 1 tzn. -1 <= Erf(x) <= 1 dla każdego x. Wyrażenie podane przez Ciebie w nawiasie kwadratowym jest zatem skończone, z czego wynika, że exp((x^2)/2) jest całkowalne nawet na całej prostej, ba, że niezależnie od przedziału całkowania pole pod jej wykresem musiałoby być mniejsze od 2... A teraz narysuj sobie wykres exp((x^2)/2) i zobacz, jak wygląda.

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Ta całka to dystrybuanta dowolnego rozkładu normalnego

Teraz to żeś już całkiem namieszał... Dystrybuanta to nie jest to samo co całka nieoznaczona... I czy w tamtej całce na pewno nie było minusa?

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Myślisz, że ci szaleni matematycy mogliby czegoś nie nazwać?

Hehe trafne. Ale to raczej humaniści nazywają wszystko, bo inaczej nie wiedzą, o czym rozmawiają... Baaardzo dużo twierdzień, obiektów nie nosi nazw, bo do niczego nie są potrzebne. Albo inaczej - noszą symboliczne określenia, bo i tak kto ma wiedzieć o co chodzi, to wie. Dla niektórych niewyobrażalnym jest fakt, że do liczb naturalnych raz należy zero, a raz nie, w zależności od potrzeby mówiącego. W matematyce od luźnych nazw ważniejsze są ścisłe definicje. Twierdzeń Cauchy''ego jest na przykład od groma...

hans olo

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Oj słabiutko ;]
sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t)) dt= sqrt(2)/2*e^t*(1/sqrt(t)) - sqrt(2)/2Se^t*(1/sqrt(t)) dt

A to skąd się wzięło? Na moje oko to nie jest poprawne całkowanie metodą „przez części”.

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

O masakra. Szalenie ciekaw jestem jak to uzyskać. To ma jakąś nazwę?

Ma. Po naszemu to „funkcja błędu” (Gaussa). To w zasadzie oznaczenie na całkę, którą przyciężkawo obliczyć. Zresztą sam zobacz:
http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
http://mathworld.wolfram.com/Erfi.html

[ b]pkapis

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Dwywymiarowa, bo ścianka nie ma grubości, jak rozumiem?

Sfera i kula są obiektami zwanymi rozmaitościami. Głupiutka nazwa, ale co ja poradzę.... Wymiar takiego czegoś, najprościej i nieściśle rzecz ujmując, to najmniejsza liczba parametrów jaka jest potrzebna, by opisać każdy jego punkt. (Dokładniej jest to wymiar przestrzeni R^n, z którą rozmaitość jest lokalnie homeomorficzna). I tak na przykład okrąg potrzebuje tylko jednego parametru t, bo można go sparametryzować: x = cos(t), y = sin(t) – sprawdź sobie na rysunku. Butelka Kleina to już działo cięższego kalibru, wymaga minimum czterech parametrów. Wzory zamieszczam na trzecim obrazku, ale nie będę ich dowodził, zatem musisz uwierzyć na słowo...

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Dysk, taki jaki znamy z naszego świata. Koło posiadające pewną grubość.

Ach, TAKI dysk. To wszystko jest w porządku. Uznałem, że posługujesz się tym terminem jak Anglosasi, dla nich disc to nasze koło.

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Ale mam wrażenie, że to ja coś poplątałem i niepotrzebnie zacząłem mieszać. Przepraszam.

Za co przepraszasz? Ja tu nie widzę żadnego mieszania, tylko efekt pewnych uproszczeń terminologicznych, którymi siłą rzeczy się posługujemy, a które muszą prędzej czy później doprowadzić do niejasności. Twój wkład był jak najbardziej pozytywny.

KrzysztofMarek

Dnia 11.11.2008 o 12:42, Karister napisał:

Będę złośliwy i napiszę, ze taki element jest. 0 * 0/0 = 0/0 = 1
Wszystko z wykorzystaniem standardowych reguł matematycznych ;-P

Hehe, niezłe. Chociaż chyba hallas za serio potraktował ten żarcik. Ja bym do tego dodał, że 0 * 0/0 = 1*0/1 (skróciliśmy licznik z mianownikiem) = 1*0 =0. Carramba, sprzeczność w matematyce... Skoro już przy takich „rozrywkach” jesteśmy to może opowiem wam schizofreniczną bajeczkę, na którą można się tu i ówdzie natknąć w Internecie. Niestety nie znam jej autora. Uwaga – tylko dla prawdziwych twardzieli!

Bajka matematyczna

Za siedmioma maksimami funkcji "sinus", za jedenastoma minimami funkcji "kosinus" dane były trzy wektory: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. Żaden z nich nie był ortogonalny do swoich braci i żaden nie wydłużał się ponad miarę. Żyli pracowicie, cicho i skromnie, służąc wiernie panu swemu Wyznacznikowi. Od świtu do nocy przesuwali bracia linie proste, obliczali iloczyny skalarne i kąty nachylenia, podpierali okręgi w ich punktach styczności i wystawiali swoje grzbiety prostopadle do różnych krzywych, które zadawał im ekonom, bezlitosny Minor. Pomimo to byli szczęśliwi. W wolnych chwilach uprawiali swoje własne, styczne do chatki, pole wektorowe - a choć skromne to było poletko (trochę snopów koherentnych, nieco liści Kartezjusza, dwa czy trzy ślimaki Pascala), przecie nie narzekali na swój wektorowy los. Ale niedługo trwało szczęście braci. "Obrócę płaszczyznę o kat fi i przyrównam każdemu jedna współrzędną do zera" - zagroził Minor. A jakże to żyć wektorowi na płaszczyźnie z jedną tylko współrzędną? Zmartwili się bracia i postanowili uciec od Wyznacznika i jego Minora tam, gdzie znajdą dogodny i prawy układ współrzędnych. Pokłonili się starej Macierzy, podjęli ją za kolumny, po raz ostatni obejrzeli się na swoje, teraz już zdegenerowane pole wektorowe, zaczerpnęli potencjału ze studni i poszli po trajektorii przed siebie. Idą, idą, idą - rodzinna chatynka widnieje na horyzoncie już pod kątem mniejszym niż epsilon (a trzeba ci wiedzieć, ze dawniej nie takie epsilony bywały, jak dziś) - aż tu nagle strumyk paraboliczny przed nimi się modrzy i akurat zmienia znak pochodnej. "Ech, połowić by rybki-skalary" westchnął Alfa Jeden. "A czemu nie?" - zgodzili się bracia. Z punktu brzegowego zarzucili do wody sieć, skonstruowaną uprzednio w misterny sposób za pomoc a cyrkla i linijki. Ciągną, patrzą, oczom nie wierzą: w sieci pi-ryba trzepocze, ludzkim  losem przemawia: "Wypuście mnie, mileńcy moi, a ja się wam odwdzięczę". Wypuścili bracia pi-rybę na wolność i idą dalej. Patrzą, a przy drodze mały Argument leży. Próbuje się podnieść do kwadratu, ale że schudł już bardzo i jest mniejszy od 1, więc co pomnoży się przez siebie, to staje się jeszcze mniejszy. Ulitowali się nad nim bracia, dodali do niego 1 i dopiero potem podnieśli do kwadratu, potem jeszcze raz i jeszcze raz. Wzrósł Argument i powiada "Dziękuję wam pięknie. Idźcie swoja droga, a ja jeszcze się wam przydam".
 Nie zdążyli bracia ani 2^(-n) mili przejść, patrzą, stoi przy drodze chatka na kurzej łapce. "Hej chatko, chatko, odwróć się do nas plusem, a do lasu minusem"- wołają. Zakołysała sie chatka, odwróciła. Otwarły się drzwi. Weszli bracia i dusza im się raduje . Stoi pod piecem stół, wszelkim jadłem zastawiony. Podjedli bracia, odpoczęli, potem znów pojedli i znów odpoczęli, następnie trzeci, czwarty, ... n-ty raz pojedli i odpoczęli. Już, już mieli przejść z n do granicy, a tu nagle zza pieca wychodzi stwór kosmaty: jakby kwantyfikator, ale czy on ogólny, czy szczególny - nie odróżnisz. "Bracia, bracia, ratujcie mnie. Już pół życia siedzę tu pod władzą czarownika de Morgana za to, ze odmawiałem zaprzeczenia implikacji.
Wzruszyli się bracia losem Kwantyfikatora i zabrali go ze sobą. Idą wesoło przed siebie. Obejrzeli się. Leci po niebie strzała. Uderzyła o ziemie, schowała ostrze, wygięła się złowrogo i zmieniła się w śliski, ohydny znak negacji. "Uciekajmy co sił w nogach - wykrzyknął Kwantyfikator - bo nas tu wszystkich zaneguje". Puścili się bracia pędem, uciekli de Morganowi.
Bajka przędzie się kołem, rzecz się toczy z mozołem. Długo trwało, zanim ujrzeli bracia przed sobą mury prastarego grodu Trygonoma, który jeszcze car Heron wybudował. I rosły przed braćmi mury Trygonoma  tak, jak rośnie wykres funkcji y = 1/x przy x dążącym do zera z prawej strony. I rozbiegały się z trzech wież Trygonomu promienie złociste tak, jak są rozbieżne sumy częściowe szeregu harmonicznego 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... Zaszli bracia do gospody "Pod Pierwiastkiem", pogadali z karczmarką, grubą Sigmą. Opowiedziała ona o wielkim nieszczęściu, jakie przed laty nawiedziło prastary Trygonom. Panował był w Trygonomie teraz już stary i siwiuteńki Książe Tangens wraz ze swa piękna niegdyś małżonką Tangensoidą. Mieli przed laty śliczną córeczkę Asymptotę, ukochana obojga księstwa i ludu. Miała być podporą dla rodziców na stare lata, gdy już blisko im będzie do nieskończoności. Aliści zdarzyła się rzecz straszna. Na uroczyste nadanie kierunku Asymptocie nie zaproszono starej wróżki Transpozycji. Była to zła wróżka i prawdę powiedziawszy, nikt jej w księstwie nie lubił, a i ona stroniła od ludzi. Jednak, gdy dowiedziała się, że nie została elementem zbioru gości, z zemsty wyrzekła przepowiednię, że gdy księżniczka dojdzie do lat siedemnastu, porwie ją de Morgan. Nie bali się tej wróżby Tangens i Tangensoida. Wyznawali bowiem logikę wielowarstwową i nie przypisywali przepowiedni Transpozycji żadnej dodatniej wartości. Na dowód tego w dniu 17-tych urodzin Asymptoty wyprawiono wielki bal. Nie było równego mu balu ani przedtem, ani potem w całym obszarze ciągłości Tangensa. Młody lokaj Gauss, świeżo ukończywszy dowód konstrukcji, pięknie przystroił sale balowe siedemnastokątami foremnymi. Przybyły na bal wszystkie pokrewne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne, książęta dx i dy, a nawet stary dziwak Area-Cosinus Hiperboliczny, którego nikt nigdy bez krzywej łańcuchowej nie widział. Kto chciał, tańczył, kto nie chciał, to robił co innego, bo kraj był demokratyczny. Starsi wspominali czasy, gdy jeszcze wzrastali i mieli dodatnią pochodną, średni wiekiem robili analizę harmoniczną swoim towarzyszkom, nieprzeliczalna służba na każde skinienie różniczkowała gościom jadło i napitki. W zacisznych kącikach młodzi całkowali się ukradkiem po dt, ale zanadto się z tym nie kryli . Książe bowiem rozumiał młodzież i niejedna młoda wypukła funkcja znalazła na jego dworze styczność drugiego rzędu z jakimś przystojnym i silnie zbieżnym funkcjonałem.
Nagły podmuch zgasił wszystkie świece, wśród gości pojawiły się zbiory rozmyte, a gdy fagasi wnieśli nowe punktowe źródła światła, okazało się, ze wśród uczestników balu nie ma już Asymptoty-krasawicy. Wykazano wnet (indukcyjnie, ze względu na liczbę obecnych na sali gości), że porwał ją de Morgan, zaprzeczając rozkazom księcia i warunkom wejścia na bal. Tak oto spełniła się przepowiednia wróżki Transpozycji. Od tej pory smutek zapanował w całym grodzie. Nikt nie rozwija się w szereg, nie całkuje i nie mnoży. Młode Różniczki dawno już zmieniły się w stare Różnice, mało które zmieniły znak z - na +. Po bokach trójkątów grasują zdziczałe kąty i nie zawsze staremu wiernemu hajdukowi Euklidesowi uda się je zsumować do 180 stopni.
Głęboko zapadła braciom w dusze opowieść Sigmy i postanowili wyzwolić z rak de Morgana nadobną Asymptotę. Udali się najpierw do wróża Bezouta. Siedzi Bezout za stołem, pierwiastki liczy kołem, gdy nie masz "u", kolego, nie przychodź do niego. Przynieśli bracia cztery nietrywialne pierwiastki, wręczają Bezoutowi i pytają, jak im pokonać de Morgana. "Trudna to sprawa - odrzecze Bezout. - Więzi on wiele kwantyfikatorów i pokonać go tylko możecie śmiało omijając prawo wyłączonego środka. Ale oto ciemnieje moja kryształowa pseudosfera: znak, ze uda się wasze przedsięwzięcie. "
Podziękowali bracia Bezoutowi, dodali jeszcze trzy pierwiastki (niezwyczajne, kwadratowe) i stoczyli się po linii najmniejszego spadku z murów Trygonoma. Kwantyfikator został barmanem pod pierwiastkiem, a Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy poszli po gradiencie w kierunku widniejącego lasu, tak gęstego, jak liczby wymierne po prostej. Jak tu przejść? Ale oto machnął jeden brat przekrojem Dedekinda, machnął drugi, potem trzeci: skonstruowali bracia liczbę niewymierna 2^sqr(2) i przeszli przez las. Wnet zagrodził im drogę potok wypełniony cieczą nieściśliwa i nielepką. Niezwyczajny to potok - pełen turbulentnych wirów i punktów osobliwych. "Co robić? - dumają bracia. -Gdybyż mieć chociaż spiralę logarytmicznę!". Ale któż to pyszczek z wody wystawia? Pi-ryba. Przewiozła braci, jednego po drugim, na druga stronę. Pokłonili się jej bracia w pas i poszli dalej, bo już było widać ogromna gorę Moduł, a na niej zamek de Morgana. Doszli bracia pod sama górę i zmartwili się. Bo, wprawdzie do zamku droga prosta, stopnie zapraszają do wejścia, ale co to za stopnie? - śliskie jak lód, gładkie tak, ze co postawisz nogę na jednym to spadasz na drugi, próbują bracia i próbują, ale nawet na pierwszy stopień nie weszli. Nagle jak spod ziemi wyrasta Argument - ten, którego kiedyś od zniknięcia uratowali. Podstawił się Argument do zmiennej niezależnej, zaburzył współczynniki przy równaniach schodów, zmniejszył gładkość i weszli bracia na górę. Ale do samego zamku jeszcze długa droga. Wejścia pilnuje pies Boole-dog, sierść na nim jeży się jak wykres funkcji y = sin 1/x, szczerzy żeby i warczy. Za Zapisem Peauceliera stoi: kto psa pokona, wnet go Inwersor w środek inwersji postawi i za płaszczyznę wyrzuci. Nie stracili głowy bracia. Sinus 1/x przez x pomnożyli i go w zerze uciaglili. Potem owinęli się wstęga Mobiusa i czekają. Zabrał się Inwersor do odwracania wstęgi Mobiusa, ale że jest to powierzchnia jednostronna, nic się braciom nie stało. Wychodzi na to sam de Morgan z suką Negacją, operatorem Minusem i starym czarownikiem Tercjanem. Wektorom znaki pozamieniać chce, od poprzednich wartości odjąć i tak to przyrównać braci do zera. Pobledli bracia, "Już po nas - myślą. - Już nie ujrzymy starej Macierzy". I stałoby się tak, gdyby nie Kwantyfikator "Istnieje Iks", który w samą porę przybiegł z Trygonomu, jeszcze w fartuchu barmana. Zagryzł Negację, stal się kwantyfikatorem "Istnieje Iks taki, Ze Nieprawda Ze Igrek" i zaczął przekształcać de Morgana, a bracia pomagają mu z drugiej strony. Rachunki logiczne przeprowadzają, a z prawa wyłączonego środka nie korzystają. "Tertium non datur" - wola de Morgan, ale Tercjan nie słyszy. Upadł de Morgan. Już po nim. Otworzyli bracia de Morganowe nawiasy i zaraz ukazała im się długa linia prosta, w której natychmiast rozpoznali księżniczkę Asymptotę. Wkrótce nadjechał i sam Tangens. Wziął córkę w ramiona i rzekł braciom: "Mam ją tylko jedną, a was jest trzech. Niech najstarszy weźmie ją za żonę. Dam mu dogodne współrzędne: dwakroć PI/2 i grupę Translacji w dziedziczne władanie".
 Nie minelo i e niedziel, a w Trygonomie odbył się huczny ślub, po którym nastąpiło skromne wesele. Byli na nim obecni wszyscy bracia: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. Przybył (uszlachcony przez Tangensa) Argument w kokilce ciągnionej przez kare bułanki. Pi-ryba wystąpiła w przepięknej galarecie z jarmużem i bedłkami, a piwo gościom rozlewał sam Kwantyfikator, obecnie już właściciel zajazdu "U z daszkiem". Nie musieli długo czekać księstwo. Alfa Jeden podziałał sobą na księżniczkę Asymptotę (teraz już swoją żonę x=PI/2) tak, że na płaszczyźnie pojawiły się wkrótce w regularnych odstępach nowe asymptoty, a stary Tangens i Tangensoida mogli wreszcie spokojnie przejść do nieskończoności.


-----------------
EDIT: No dobra, dodawanie obrazków nie działa... Jak system stanie, to wrzucę te trzy pikczery.

[Matteos 0]

Ach ta stabilność Gramu...

[Karister 0]

Dnia 11.11.2008 o 18:31, Matteos napisał:

Jeśli to standardowe (tzn. „niegwiazdkowe” i spreparowane do celów dydaktycznych,
a więc nie wynikające z rzeczywistych problemów) zadanie probabilistyczne, to na 99%
przekombinowałeś i nie jest ci potrzebny wzór explicite na taką całkę nieoznaczoną. Najpewniej
wystarczy odpowiednio posłużyć się dystrybuantą rozkładu normalnego i tablicami umieszczonymi
na końcu każdego podręcznika do rachunku prawdopodobieństwa. Rachunki których się podejmujesz
wymagają znajomości funkcji błędu erf(x) i jego zespolonego brata erfi(x).

Tak, do tych tablic też już trafiłem. ;) Całka natomiast nie jest wzięta z kosmosu. Jeśli do wzoru na gęstość prawdopodobieństwa podstawisz za średnią 0 i za odchylenie standardowe 1, taka właśnie powstaje. Jej wyliczenie, jak już miałem przyjemność się przekonać, proste nie jest i można jej wartości znaleźć w tablicach.

Dnia 11.11.2008 o 18:31, Matteos napisał:

> Całka ta wynosi [1+erf(x/pi)]

Niemożliwe. Erf(x) przyjmuje wartości od -1 do 1 tzn. -1 <= Erf(x) <= 1 dla każdego
x. Wyrażenie podane przez Ciebie w nawiasie kwadratowym jest zatem skończone, z czego
wynika, że exp((x^2)/2) jest całkowalne nawet na całej prostej, ba, że niezależnie od
przedziału całkowania pole pod jej wykresem musiałoby być mniejsze od 2... A teraz narysuj
sobie wykres exp((x^2)/2) i zobacz, jak wygląda.

No dobra, pochrzaniło mi się. Nieważne... na wolframie jest skrypt do liczenia całek. :)

Dnia 11.11.2008 o 18:31, Matteos napisał:

> Ta całka to dystrybuanta dowolnego rozkładu normalnego

Teraz to żeś już całkiem namieszał... Dystrybuanta to nie jest to samo co całka nieoznaczona...
I czy w tamtej całce na pewno nie było minusa?

Ano, namieszałem, bo zapomniałem, że sobie pominąłem to i owo, gdy pytałem o wyliczenie całki. Oczywiście, jeśli to ma być dystrybuantą, całka ma być oznaczona. Ja pytałem o samo wyliczenie całki, więc olałem, że jest oznaczona, bo po utrudniać sprawę, gdy nie było to potrzebne. Liczy się tak samo. Minus naturalnie miał być w wykładniku. :D Cóż, tak to jest, gdy człek 1szy dzień się tego uczy. :)


Bajeczka długa, zostawię sobie na nockę. :D

[KrzysztofMarek 9]

Dnia 11.11.2008 o 11:32, hallas napisał:

> /.../> Definicja symbolu ułamka wygląda tak, że w liczniku może się znajdować liczba całkowita
a w mianowniku liczba naturalna (lub całkowita) z wyłączeniem zera /.../

Pierwiastek z 2 jest liczbą całkowitą? Hmmm. To mógłbyś ją napisać ? ;-P
A pierwiastek z -2 moze też? Wprawdzie to liczba urojona, ale moze być w mianowniku. ;-P
No i całkowicie nie satysfakcjonuje mnie stwierdzenia, którego w szkole uczą "pamiętaj cholero, nie dziel przez zero". O wiele bardziej odpowiada mi wyważone rozumowanie Matteosa.
Mimo wszystko staram się pamiętać ze matematyka jest wprawdzie nauką ścisłą, ale opiera się na aksjomatach, to jest twierdzeniach prawdopodobnie prawdziwych, ale ich prawdziwości dowieść nie sposób.

[KrzysztofMarek 9]

Dnia 11.11.2008 o 18:31, Matteos napisał:

> /.../> Hehe trafne. Ale to raczej humaniści nazywają wszystko, bo inaczej nie wiedzą, o czym
rozmawiają... /.../

Prawda! Ale na pewno nie tylko humaniści. Już niemowlę uczy się języka w ten sposób, że rodzice nazywają mu wszystko, co widzi. A i potem dziecko pyta "A to?" i dowiaduje się, jak "to" się nazywa. Zauważ, ze bardzo niewiele osób wie, jak działa telewizor, czy chociażby komórka a potrafi się tym posługiwać. Nawet bez znajomości ogólnych zasad działania. Kto wie, czy teoretyczna znajomość budowy bomby jadrowej nie jest szerzej rozpowszechniona, niż właśnie telefonu komórkowego. Genialną definicją podał Lem: budowano telefony na drut. Potem drut robiono cieńszym, cieńszym, aż w końcu drut był tak cienki, ze go wcale nie było. Tę opowiastkę Lema dedykuję tym, co twierdzą, ze zero nie może być w mianowniku ;-D

[Kamexo 0]

Jeztem tempy i nic nie kapuje s matmy. Ile to 2 - 2?

[KrzysztofMarek 9]

Dnia 11.11.2008 o 20:23, Kamexo napisał:

Jeztem tempy i nic nie kapuje s matmy. Ile to 2 - 2?

Pała!

[hallas 0]

Niestety matematyka jest nauką subtelną a tym posługujesz się nią jak maczugą... nie dziwię się wiec, że nie jesteś w stanie pojąć pewnych różnic. Ale nie przejmuj się - 99,9% ludzi nie potrafi. Następnym razem nie pytaj się jednak czemu nie można dzielić przez zero - w szkole się mówi tak a nie inaczej bo nie ma sensu uczyć dzieci działania na liczbach rzeczywistych poprzedzając to najpierw ostrą teoraią z algebry lub analizy matematycznej. Skoro nie potrafisz włożyć wysiłku by choć trochę się w tą matematykę wgłębić to musisz pozostać przy niesatysfakcjonującej formule "pamiętaj cholero - nie dziel przez zero". Cóż - by poczuć satysfakcję trzeba się jednak trochę postarać.