Zaloguj się, aby obserwować  
Anonim_ecd01e12338b9d94a1a513fa581ad6b292a862bb1c126c31d561978527500a64

Matematyka

1442 postów w tym temacie

Dnia 10.06.2014 o 17:27, woko27 napisał:

Kursy Krystiana z eTrapeza.


Filmiki tego Pana już obczaiłem jakiś kawał czasu. Naprawdę porządna sprawa.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 10.06.2014 o 17:38, windows00 napisał:

Nie znam żadnego sposobu na skrócenie n^n


To mi wystarczy :D W takim razie wygląda na to, że n^n powinno ładnie mi się skrócić. Zobaczyłbyś, czy dobrze zbadałem zbieżność szeregu? Jeżeli tak, to będę na siebie cholernie zły, bo wydaje mi się, że na kolokwium coś namieszałem :P

20140610175141

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

Jeśli jakieś wyrażenie wyda Ci się pokręcone - skopiuj je i wrzuć do Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/

Dnia 10.06.2014 o 17:51, Gumisiek2 napisał:

To mi wystarczy :D W takim razie wygląda na to, że n^n powinno ładnie mi się skrócić.
Zobaczyłbyś, czy dobrze zbadałem zbieżność szeregu? Jeżeli tak, to będę na siebie cholernie
zły, bo wydaje mi się, że na kolokwium coś namieszałem :P

Jeśli tak samo napisałeś na kolokwium, to na miejscu Twojego wykładowcy dałbym Ci zero punktów.
Patrząc na ten obrazek to dokonałeś niemożliwego: obliczyłeś sumę szeregu rozbieżnego.
Popatrz na pierwszą i ostatnią część tego wyrażenia. Wynika z tego, że szereg ten jest równy e^2.
Jeśli "zapomnimy" i szeregu na początku, to wynik może jest i dobry, ale zapis strasznie niechlujny:
1) Po pierwsze nie widać związku między szeregiem a wyrażeniem którego graniczę chcesz wyliczyć. Powinieneś na początku dopisać definicję kryterium Cauchy''ego:
|a_n|^{1/n} = |\frac{(n+2)^{n^2}}{n^{n^2}}|^{1/n} = \frac{(n + 2)^n}{n^n}
I dopiero teraz w nowej linijce zacząć z lim_{n -> infinity} \frac{(n + 2)^n}{n^n}.
2) Za szybko pozbyłeś się lim z zapisu. Wiem, że to wygodne, bo nie trzeba o tym pamiętać, ale lim_{n -> infinity} (1 + 2/n)^n nie równa się wcale (1 + 2/n)^n, a tak wynika z tego zapisu.
Powinieneś rozdzielić mianownik tak jak zrobiłeś, zapisać oddzielnie n^2 i (1 + 2/n)^2, skrócić n^n z licznikiem (z zastrzeżeniem, że skoro n to naturalne, to n^n nigdy nie będzie zerem, więc można skracać) i dopiero na końcu opuścić lim.
3) Brak wytłumaczenia dlaczego lim_{n -> infinity} (1 + 2/n)^n.
4) Wytłumaczyć dlaczego szereg jest rozbieżny (bo e^2 > 1).

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 10.06.2014 o 18:46, windows00 napisał:

Patrząc na ten obrazek to dokonałeś niemożliwego: obliczyłeś sumę szeregu rozbieżnego.


Nie, nie, nie. Nie miałem liczyć sumy szeregu, lecz zbadać jego zbieżność. Co do zapisu, to bardzo go skróciłem i mam tego świadomość, ale nie jesteśmy przecież na kolokwium ;-)

Dnia 10.06.2014 o 18:46, windows00 napisał:

1)


Owszem, takie coś musimy napisać na kolokwium.

Dnia 10.06.2014 o 18:46, windows00 napisał:

2)


Limes olałem, bo rysowałem to w Paint''cie ;-) Wiem, że limesu nie pisze się dopiero od momentu, w którym granica staje się policzalna.

Dnia 10.06.2014 o 18:46, windows00 napisał:

3)


Jak rozumiem, masz na myśli brak wytłumaczenia, dlaczego lim_{n -> infinity} (1 + 2/n)^n = e^2? Nie musimy pisać takich rzeczy.

Dnia 10.06.2014 o 18:46, windows00 napisał:

4)


Po wyliczeniu granicy szeregu wystarczy napisać "Szereg zbieżny/rozbieżny na podstawie kryterium tego i tego".

Chodziło mi tylko o to, czy dobrze policzyłem granicę szeregu :P O ile dobrze pamiętam, to na kolokwium coś namieszałem i n^n nie skracało mi się, dlatego też szukałem sposobu na jakieś obliczenie tej wartości. Teraz zrobiłem przykład po raz drugi i chciałem tylko wiedzieć, czy nigdzie się nie sypnąłem. Dzięki za pomoc ;-)

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 10.06.2014 o 19:40, Gumisiek2 napisał:

Nie, nie, nie. Nie miałem liczyć sumy szeregu, lecz zbadać jego zbieżność. Co do zapisu,
to bardzo go skróciłem i mam tego świadomość, ale nie jesteśmy przecież na kolokwium
;-)

No ja wiem co Ty miałeś pokazać, napisałem tylko co wynika z obrazka, bo tylko to zobaczyłem :)

Dnia 10.06.2014 o 19:40, Gumisiek2 napisał:

> 1)
Owszem, takie coś musimy napisać na kolokwium.
> 2)
Limes olałem, bo rysowałem to w Paint''cie ;-) Wiem, że limesu nie pisze się dopiero
od momentu, w którym granica staje się policzalna.

Jeśli tak, to bardzo dobrze.

Dnia 10.06.2014 o 19:40, Gumisiek2 napisał:

> 3)
Jak rozumiem, masz na myśli brak wytłumaczenia, dlaczego lim_{n -> infinity} (1 +
2/n)^n = e^2? Nie musimy pisać takich rzeczy.

To że czegoś nie wymagają, nie znaczy, że nie warto tego zapisać.
Ale jak nie każą to nie każą...

Dnia 10.06.2014 o 19:40, Gumisiek2 napisał:

> 4)
Po wyliczeniu granicy szeregu wystarczy napisać "Szereg zbieżny/rozbieżny na podstawie
kryterium tego i tego".
Chodziło mi tylko o to, czy dobrze policzyłem granicę szeregu :P

Tak łatwo to nie ma :P

Dnia 10.06.2014 o 19:40, Gumisiek2 napisał:

O ile dobrze pamiętam,
to na kolokwium coś namieszałem i n^n nie skracało mi się, dlatego też szukałem sposobu
na jakieś obliczenie tej wartości. Teraz zrobiłem przykład po raz drugi i chciałem tylko
wiedzieć, czy nigdzie się nie sypnąłem. Dzięki za pomoc ;-)

Zawsze do usług.
Hejtowanie w cenie odpowiedzi :D

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 12.06.2014 o 20:42, Nikodem95 napisał:

Wie ktoś jak do tych zadań podejść?

17)
Utwórz trójkąt: środek okręgu i dwa sąsiadujące ze sobą wierzchołki n-kąta. Masz trójkąt równoramienny i możesz obliczyć kąt przy wierzchołku okręgu. Twierdzenie Pitagorasa, trochę trygonometrii i masz wynik.
18)
Utwórz trójkąt: środek okręgu i dwa sąsiadujące ze sobą wierzchołki n-kąta. Masz trójkąt równoramienny i możesz wyznaczyć jego wysokość. Twierdzenie Pitagorasa, trochę trygonometrii i masz wynik.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 12.06.2014 o 21:16, windows00 napisał:

17)

>
Bleh, skończyłem niedawno szkołę. Już się zacząłem gubić i faktycznie sam z tym trójkątem, i Pitagorasem wpadłem, ale zapomniałem by obliczyć kąt, więc nic mi nie wychodziło. Jestem bardzo wdzięczny Tobie ;)

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

Jak "chapnąć" poniższe szeregi? Będę wdzięczny za naprowadzenie mnie na właściwe kryterium i ewentualną pomoc, jak się do tego zabrać, a resztę już sobie wyliczę.

20140621233539

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 21.06.2014 o 23:35, Gumisiek2 napisał:

Jak "chapnąć" poniższe szeregi? Będę wdzięczny za naprowadzenie mnie na właściwe kryterium
i ewentualną pomoc, jak się do tego zabrać, a resztę już sobie wyliczę.

Zdefiniuj co znaczy "chapnąć" ;>

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

No jak się za nie zabrać, jakiego kryterium użyć i w jaki sposób, bo jakoś nie mogę tego rozgryźć :P D''Alembert i Cauchy odpadają, kryterium całkowym też nie mogłem tego rozwalić, więc skłaniam się ku kryterium porównawczemu, lecz nie wiem, jak rozwiązać ww. szeregi za jego pomocą.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 22.06.2014 o 01:02, Gumisiek2 napisał:

No jak się za nie zabrać, jakiego kryterium użyć i w jaki sposób, bo jakoś nie mogę tego
rozgryźć :P D''Alembert i Cauchy odpadają, kryterium całkowym też nie mogłem tego rozwalić,
więc skłaniam się ku kryterium porównawczemu, lecz nie wiem, jak rozwiązać ww. szeregi
za jego pomocą.

Dalej nie napisałeś co chcesz zrobić z tym szeregiem ;>
Domyślam się, że chodzi o zbadanie zbieżności, ale równie dobrze mogło Ci chodzić np. o policzenie jego sumy...

Co do zbadania zbieżności:
kryterium porównawcze to dobry kierunek. Spróbuj znaleźć szereg, którego wyrazy będą zawsze większe od wyrazów podanych przez Ciebie szeregów, a znaleziony szereg jest zbieżny.
W pierwszym przykładzie spróbuj ograniczyć ln n czymś większym.
W drugim - musisz popracować ze zbieżnością bezwzględną (bo inaczej nie spełnisz warunków do kryterium porównawczego). I ponownie spróbuj ograniczyć wyraz czymś większym.

Jeśli dalej Ci się nie uda - będę podpowiadać dalej.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 22.06.2014 o 12:23, windows00 napisał:

Dalej nie napisałeś co chcesz zrobić z tym szeregiem ;>
Domyślam się, że chodzi o zbadanie zbieżności, ale równie dobrze mogło Ci chodzić np.
o policzenie jego sumy...


No tak, mój błąd, oczywiście chodziło o zbadanie zbieżności. Gdy przerabialiśmy ten dział, 90% zadań to było właśnie badanie zbieżności szeregu i stało się to dla mnie na tyle rutynowe, że gdy tylko widzę jakikolwiek szereg, od razu chcę badać jego zbieżność :D

Dnia 22.06.2014 o 12:23, windows00 napisał:

W pierwszym przykładzie spróbuj ograniczyć ln n czymś większym.


Czyli mogę zastąpić ln n samym n? Wszak dana zmienna zawsze będzie większa od logarytmu naturalnego z niej samej. I wykazuję zbieżność, bo mianownik rośnie w miarę szybko? Jeżeli idę w dobrym kierunku, to po ograniczeniu ln n samym n i skróceniu n w większym szeregu zostałoby mi 1/n^2, czyli szereg Dirichleta zbieżny. Dobrze kombinuję?

Dnia 22.06.2014 o 12:23, windows00 napisał:

W drugim - musisz popracować ze zbieżnością bezwzględną (bo inaczej nie spełnisz warunków
do kryterium porównawczego). I ponownie spróbuj ograniczyć wyraz czymś większym.


Czy mogę ograniczyć wartość bezwzględną z cos n jedynką (bo cosinus będzie co najwyżej jej równy) i napisać, że 1/n^2 to szereg Dirichleta zbieżny? :P

Wrzucę obrazek, w razie gdybym wyraził się niezrozumiale.

20140622172446

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 22.06.2014 o 17:24, Gumisiek2 napisał:

Wrzucę obrazek, w razie gdybym wyraził się niezrozumiale.

Z tych dwóch rzeczy bardziej niezrozumiały jest zapis :P
Kierunek jest dobry, ale w 2. musisz jeszcze zaznaczyć, że wynika z tego, że szereg cos n/n^2 jest zbieżny bezwzględnie, a to pociąga za sobą zbieżność w zwykłym sensie.

A teraz pastwienie się nad zapisem:
w tych wyrażeniach albo wszędzie dopisujesz znak szeregu, albo nie robisz tego nigdzie. Inaczej wychodzą z tego banialuki.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 22.06.2014 o 18:31, windows00 napisał:

Kierunek jest dobry, ale w 2. musisz jeszcze zaznaczyć, że wynika z tego, że szereg cos
n/n^2 jest zbieżny bezwzględnie, a to pociąga za sobą zbieżność w zwykłym sensie.


Racja.

Dnia 22.06.2014 o 18:31, windows00 napisał:

A teraz pastwienie się nad zapisem:
w tych wyrażeniach albo wszędzie dopisujesz znak szeregu, albo nie robisz tego nigdzie.
Inaczej wychodzą z tego banialuki.


Spodziewałem się, że o tym wspomnisz, ale miałem nadzieję, że pamiętasz, iż w poprzednim poście olewałem poprawny zapis i skupiałem się na wyniku, więc domyślisz się, że i w tym przypadku poszedłem tą drogą ;-)

Wielkie dzięki za pomoc.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 22.06.2014 o 18:46, Gumisiek2 napisał:

Spodziewałem się, że o tym wspomnisz, ale miałem nadzieję, że pamiętasz, iż w poprzednim
poście olewałem poprawny zapis i skupiałem się na wyniku, więc domyślisz się, że i w
tym przypadku poszedłem tą drogą ;-)

A ja miałem nadzieję, że pamiętasz moje ostatnie posty, w których kładłem duży nacisk na poprawność i elegancję zapisu :)

Dnia 22.06.2014 o 18:46, Gumisiek2 napisał:

Wielkie dzięki za pomoc.

Niezamaco.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 24.06.2014 o 22:40, nightfaler napisał:

Z serii trywialne:
całka z e^(x^2)?

Nie mogę pomóc, za głupi jestem :(
Takie "trywialne" zadania są dla mnie za trudne...

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

Kilka razy potrzebowałem pomocy, więc nie będę wypowiadał się o poziomie trywialności owego zagadnienia, dam natomiast podpowiedź.

t=x^2

@windows00 - musimy dojść do złotego środka :P

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach
Dnia 25.06.2014 o 17:35, Gumisiek2 napisał:

@windows00 - musimy dojść do złotego środka :P

Nope, jak widzę nie zrozumiałeś aluzji ;>

Liczcie jak długo chcecie, ale jestem pewien, że nie dojdziecie do żadnego sensownego rozwiązania.

Udostępnij ten post


Link to postu
Udostępnij na innych stronach

Utwórz konto lub zaloguj się, aby skomentować

Musisz być użytkownikiem, aby dodać komentarz

Utwórz konto

Zarejestruj nowe konto na forum. To jest łatwe!


Zarejestruj nowe konto

Zaloguj się

Masz już konto? Zaloguj się.


Zaloguj się
Zaloguj się, aby obserwować