Matematyka

[Gumisiek2 2]

Dnia 30.11.2014 o 14:16, Przemix333 napisał:

Na jaką cyfrę kończą się liczby 2^80, 3^20 , 11^15 , 7^30 ?

Moje rozwiązanie pewnie nie będzie tym najlepszym, bo nigdy nie robiłem tego typu zadań, ale podszedłem do tego w następujący sposób:

2^80 = (((2^5)^4)^4)

2^5 = 32

Bierzesz cyfrę jedności z powyższego wyniku (czyli dwójkę) i potęgujesz przez kolejny wykładnik.

2^4 = 16

Ponawiasz działanie.

6^4 = 1296 (nie musisz tego nawet liczyć, gdyż kolejne potęgi liczby 6 o naturalnych wykładnikach zawsze będą kończyć się szóstką)

Cyfra jedności ostatniego wyniku jest cyfrą jedności działania 2^80.

3^20 = ((3^4)^5)
11^15 = ((11^3)^5) - pomijając fakt, że każda kolejna potęga liczby 11 o naturalnym wykładniku zawsze będzie kończyć się jedynką
7^30 = ((7^2)^15) - pomocny jest fakt, że każda potęga liczby 9 o nieparzystym wykładniku zawsze będzie kończyć się dziewiątką

[DugyDugson 0]

Kolejny orzeszek do zgryzienia. Nie wiem jak zróżniczkować (e^x)^2, by dojść do takiej formy :

[Thrandir 1]

Dnia 03.12.2014 o 18:35, DugyDugson napisał:

Kolejny orzeszek do zgryzienia. Nie wiem jak zróżniczkować (e^x)^2, by dojść do takiej
formy :

no ((e^x)^2)'' = (e^x * e^x)' = |stosujemy wzor na pochodna iloczynu|= e^x * e^x + e^x * e^x = 2 (e^x)^2
Prosciej jest to zreszta zapisac jako e^2x i od razu rozniczkowac.

Jestes pewien, ze dobrze zapisales nawias? Moze masz na mysli e^(x^2)?

[Thrandir 1]

Dnia 03.12.2014 o 18:35, DugyDugson napisał:

Kolejny orzeszek do zgryzienia. Nie wiem jak zróżniczkować (e^x)^2, by dojść do takiej
formy :

Glupia funkcja edytuj zjadla mi reszte mojego posta. Jezeli chodzi o e^(x^2) to proponuje podstawienie: niech t(x) = x^2 potrzebujesz pochodnej d/dx (e^t). Zapiszmy ja wiec (na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji wewnętrznej- nasza funkcja wewnętrzna jest t(x)) jako: d/dx e^(x^2) = dt/dx * d/dt (e^t) = dt/dx * e^t (bo d/dt e^t = e^t) dodatkowo Twoje t = x^2, czyli dt/dx = d(x^2)/dx = 2x. Wracajac z podstawieniem: d/dx (e^(x^2)) = 2x * e^(x^2). Jest to zwyczajne użycie wzoru na pochodna funkcji wewnętrznej. Zupełnie legalnie byłoby to (tak mi sie wydaje- ale nie dam głowy bo matematykiem nie jestem) zapisać z użyciem pochodnych cząstkowych a nie zwykłych d (w sensie: przed znakiem równości byłaby pełna pochodna d/dx, ale za znakiem- odpowiednie pochodne cząstkowe), ale jako, ze nie mam na klawiaturze takich znaczków to powiedzmy, ze tak jest wystarczająco dobrze. Zapewne jest na to jeszcze jakaś inna metoda (ale i tak dojdziesz do zastosowania wzoru na pochodna funkcji wewnętrznej), można popróbować coś z własności logarytmu: a^b = e ^ ln (a^b) = e ^ (b * ln a).

[m-r]

[windows00 0]

Dnia 30.11.2014 o 14:16, Przemix333 napisał:

Czy mógłby ktoś wytłumaczyć jak zrobić poniższe zadania (oczywiście bez mnożenia do potęgi)?

Cały trik w tych zadaniach polega na dostrzeżeniu pewnych prawidłowości.

Dnia 30.11.2014 o 14:16, Przemix333 napisał:

Na jaką cyfrę kończą się liczby 2^80, 3^20 , 11^15 , 7^30 ?

Zacznij potęgować i zapisuj ostatnie cyfry. Szybko zauważysz co i kiedy się powtarza.

Dnia 30.11.2014 o 14:16, Przemix333 napisał:

Na jakie dwie ostatnie cyfry kończą się liczby 3^30, 4^20 , 12^15 , 6^30 ?

Podobnie jak wyżej - potęguj do znalezienia jakichś powtórzeń. Jednak nie musisz mnożyć wszystkiego - mnożenie elementów większych niż dziesiątki nie ma sensu, bo nie wpłynie na wynik dziesiątek i jednostek, więc te same informacje otrzymasz np. mnożąc 44*12 zamiast 144*12 (oczywiście jeśli chodzi o ostatnie dwie cyfry wyniku).
Co prawda nie znalazłem żadnej prawidłowości dla 12^15, ale biorąc pod uwagę tylko dziesiątki i jedności nie jest to nazbyt żmudne zadanie.

Dnia 30.11.2014 o 14:16, Przemix333 napisał:

Określ liczbę podzielną przez 7, która leży najbliżej liczby 10^100 000

Zacznij dzielić kolejne potęgi 10 przez 7 i zobacz w jaki sposób powtarzają się reszty. Dzięki temu będziesz mógł łatwo policzyć jaka będzie reszta z dzielenia 10^100 000 przez 7, a stąd prosta droga do wskazania najbliższej liczby podzielnej przez 7.

[Eye-Maze 0]

Podaj przykład układu dwóch równań o 4 niewiadomych, który ma tylko jedno rozwiązanie bazowe.

Ma ktoś pomysł na takie coś? Od godziny już układam jakieś równania i za nic nie mogę, zawsze mi wychodzi więcej rozwiązań.

[DugyDugson 0]

Mam do zrobienia na czwartek przebieg zmienności funkcji (e^x)(x^3). Wszystko wskazuje na to, że Df:R, ale mam problem z obliczaniem miejsc przecięcia się z osiami.

Przyrównując równanie do 0 przychodzi mi na myśl jedynie jeden trik z dzieleniem przez logarytm:
(e^x)(x^3)=0/ln
ln(e^x)(x^3)=ln0
logarytm i liczba e się znoszą - zostaje samo x(x^3), ale za to nie ma rozwiązania dla ln0 i tu jestem w kropce.
Wie ktoś jak to rozwiązać ?

@up Thrandir - dzięki za pomoc, zapomniałem odpisać.

[Rokuto 0]

To jest iloczyn e^x i x^3, tak? Jeśli tak, to zastanów się kiedy iloczyn dwóch liczb jest równy 0.

[Thrandir 1]

Dnia 17.12.2014 o 00:43, DugyDugson napisał:

Mam do zrobienia na czwartek przebieg zmienności funkcji (e^x)(x^3). Wszystko wskazuje
na to, że Df:R, ale mam problem z obliczaniem miejsc przecięcia się z osiami.

Przyrównując równanie do 0 przychodzi mi na myśl jedynie jeden trik z dzieleniem przez
logarytm:
(e^x)(x^3)=0/ln
ln(e^x)(x^3)=ln0
logarytm i liczba e się znoszą - zostaje samo x(x^3), ale za to nie ma rozwiązania dla
ln0 i tu jestem w kropce.
Wie ktoś jak to rozwiązać ?

@up Thrandir - dzięki za pomoc, zapomniałem odpisać.

Nie ma problemu.

Czymze jest to "dzielenie przez logarytm"? Jeżeli masz na myśli logarytmowanie stronami (które owszem, często zapisuje się za kreską /, ale nie oznacza to w żadnym wypadku "dzielenia") to nie ma to tu żadnego sensu, bo przecież wiesz, że dziedziną funkcji logarytm jest zbiór (0, +infinity), a więc logarytmowanie zera nie ma racji bytu. Nie radzę proponować czegoś takiego na kolokwium bo można za to wyzerować całą pracę (u mnie gdyby ktoś coś takiego zobaczył to stawiałby 2 bez zastanowienia i patrzenia na resztę). Warto również pamiętać, iż operacja logarytmowania stronami- pomimo, że niekiedy sensowna ze względu na różnowartościowość logarytmu- zdecydowanie zawęża Ci dziedzinę (właśnie do obszaru od 0 do + nieskonczonosci)- Twoja funkcja (e^x) * x^3 określona jest dla dowolnego x należącego do rzeczywistych, zaś logarytmując stronami bawiłbyś się w rozpatrywanie jedynie pewnej części osi (ergo byłoby to słabe rozwiązanie, bo nawet gdybyś otrzymał jakiś wynik, to i tak nie byłbyś pewien, czy nie masz innych rozwiązań dla pominiętej części osi).

A tak poza tym, to ln ((e^x)*(x^3)) =/= x*(x^3). Z własności logarytmu logarytm iloczynu to suma logarytmów, czyli ewentualnie można stwierdzić, że ln ((e^x)*(x^3)) = x + ln (x^3) = x + 3 ln x, co zresztą nie przybliża za bardzo do rozwiązania

Co do rozwiązania- kolega wyżej ma rację, popatrz na te dwie liczby i zastanów się, jaki jest zbiór wartości funkcji e^x oraz zbiór wartości x^3 (czyli x * x * x) i pomyśl, kiedy ich iloczyn ma szansę być zerem...

[DugyDugson 0]

(e^x) =0 v (x^3)=0
Pierwsze nie przyjmuje wartości zerowej, w drugim x musiałby być równe 0. Czyli MZ = 0 ? Dobrze myślę ?

[Thrandir 1]

Dnia 17.12.2014 o 22:34, DugyDugson napisał:

(e^x) =0 v (x^3)=0
Pierwsze nie przyjmuje wartości zerowej, w drugim x musiałby być równe 0. Czyli MZ =
0 ? Dobrze myślę ?

Dokladnie :)

Czasami najprostsze rzeczy są najtrudniejsze, czyż nie? :)

Więc miejsce przecięcia z osią OX masz, OY powinno być jeszcze łatwiejsze (podstawiasz 0 w miejsce x-a), więc po stwierdzeniu że funkcja jest klasy C nieskonczonosc na swojej dziedzinie (bo jest zlozeniem dwoch funkcji klasy C nieskonczonosc- wielomianu i funkcji wykladniczej)- mozna spokojnie rozniczkowac, aby zabrac sie za reszte przebiegu zmiennosci (ekstrema, asymptoty i inne takie, nie wiem czego u Was wymagają).

[DugyDugson 0]

hm, wie ktoś jak rozwiązać taką całeczkę przez podstawienie [(2x-4)sinx]/[(x-2)tgx]dx ? Czy pomoże tu skrócenie wyrażenia do postaci 2cosxdx ?

[Thrandir 1]

Dnia 10.01.2015 o 23:08, DugyDugson napisał:

hm, wie ktoś jak rozwiązać taką całeczkę przez podstawienie [(2x-4)sinx]/[(x-2)tgx]dx
? Czy pomoże tu skrócenie wyrażenia do postaci 2cosxdx ?

Em no to zdecydowanie jest calka z 2cosx dx, czyli tu nie ma zadnego postawienia tylko stwierdzasz, ze to po prostu 2 sinx + C (bo pochodna sinusa to cosinus => jedna z pierwotnych cosinusa jest sinus)

Jak koniecznie musisz robić to przed podstawienie to nie skracaj tego do 2cosx tylko rób podstawienie t = tg x/2 albo t = tg x na postaci przed skroceniem, no ale to bez sensu bo lepiej jest od razu skrocic i po prostu calkowac samego cosinusa.

[DugyDugson 0]

Dziękuję. W ogóle jak rozpoznać gdzie trzeba użyć jakiejś metody - kiedy całkować przez części, a kiedy przez podstawianie ?

[Thrandir 1]

Dnia 14.01.2015 o 13:45, DugyDugson napisał:

Dziękuję. W ogóle jak rozpoznać gdzie trzeba użyć jakiejś metody - kiedy całkować przez
części, a kiedy przez podstawianie ?

Całkowanie to zabawa w zgadywanie. Jest kilka wartych uwagi "metod", reguł do zapamiętania, ale generalnie- jeżeli nie czujesz, co powinno wyjść / co warto zrobić aby dojść do jakiejś postaci, z którą sobie poradzisz to jest ciężko. Większość zagadnień na poziomie politechniki to jednak specjalnie dobrane przykłady, do których zastosować można konkretną metodę- dzięki temu większość przykładów da się rozwiązać na kartce. W rzeczywistości zaś- i tak większość rzeczy robi się numerycznie, bo analitycznie byłoby to niemal niemożliwe / zupełnie niemożliwe/ zbyt czasochłonne.

W najprostszym ujęciu- wzór na całkowanie przez części jest to tak naprawdę całkowa wersja wzoru na pochodną iloczynu (to samo w drugą stronę). Stosuje się więc go gdy mamy do czynienia z iloczynem dwóch funkcji, gdzie łatwe jest wyliczanie zarówno całek, jak i pochodnych naszych funkcji.
Całkowanie przez części na pewno warto stosować, gdy mamy iloczyny: funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus * coś z tej listy; wielomian * inna funkcja (głównie z tej listy); e^x * coś z tej listy ; logarytm naturalny * coś z tej listy (szczególnie chętnie- wielomian)

Wynika to z tego, iż kolejne pochodne sinusa/cosinusa to odpowiednia cofunkcja (więc przechodząc przez całkowanie przez części kilka razy nie "zwiększymy" trudności naszej funkcji całkowanej), wielomiany przy różniczkowaniu zmniejszają swój stopień (przez co możemy "pozbyć się" iloczynu całkując kilka razy przez części), e^x jest zarówno swoją pochodną jak i jedną z pierwotnych (równie przydatna własność); pochodna logarytmu to 1/x czym możemy zredukować wielomian.

To tak w skrócie, stosowanie całkowania przez części niemal na pewno będzie przydatne gdy masz do czynienia z iloczynami wymienionych wyżej funkcji. Może być też przydatne w innych sytuacjach, ale to już kwestia wyczucia- nie ma jednego algorytmu na poprawne całkowanie (dlatego też mówi się, że "pochodne to rzemiosło, całki- sztuka").


Jeżeli zaś chodzi o podstawienie- warto jest je stosować, gdy można sobie za jego pomocą poradzić z funkcją wewnętrzną. Dodatkowo ,jeżeli widzisz, że przy użyciu jakiegoś podstawienia będziesz mógł równie łatwo poradzić sobie z funkcją jak i pochodną (np jak w przypadku całki z lnx / x- ln x * 1/x to jest funkcja razy jej pochodna, ergo podstawiając t za ln x - dt to będzie 1/x które już mamy, czyli wszystkiego elegancko się pozbędziemy). Podstawienia bardzo często używa się, gdy bawimy się z funkcjiami trygonometrycznymi (z pomocą przychodzi tu podstawienie t = tg x/2, za pomocą którego da się względnie łatwo wyrazić wszystkie podstawowe funkcje trygonometryczne- wadą jest to, że jego użycie niemal zawsze wiąże się z dłuuuugaśnymi rachunkami), pierwiastkowaniem funkcji (podstawienia Eulera Twoim przyjacielem, choć zdecydowanie lepiej jest pamiętać podstawowe ich wyniki- zwyczajnie są one trudne i czasochłonne, zaś większość podstawowych przykładów da się zrobić z pomocą tych podstawień raz i używać otrzymanych wyników), ilorazami funkcji i innymi takimi.

Nie ma jednej metody. Większość zadań na poziomie analizy matematycznej na politechnice (mówię to jaki student drugiego roku studiów dziennych na Politechnice Warszawskiej, wydział MEiL, jeden z niewielu wydziałów, które mają samej analizy semestry trzy- bardziej rozbudowany kurs na PW ma chyba tylko sama matematyka na MiNI- mam więc względnie dobre rozeznanie, jak to wygląda "w praniu") to podstawowe schematy, które można pamiętać i po stu całkach z góry wiesz, co będzie trzeba zrobić i jak będzie wyglądał tok rozwiązywania danej całki. Podejrzewam, że na innych uczelniach wyższych w naszym kraju jest względnie podobnie (wykluczając oczywiście przyjemności takie jak kierunek o wdzięcznej nazwie "Matematyka" jak i wszelkie jego wariacje- ale kto na taki kierunek szedł ten wiedział, na co się decyduje).

[LastOrder 0]

Witam. Jestem ogórkiem przyznaję. Proszę o przekształcenie wzorów tak żeby mógł wyliczyć RBZ , RBY. Wiem że trzeba przenieść coś na drugą stronę ale myślę i myślę i nic nie wymyślę. Help :)

-P1 * L + RBZ*2L=

P2*L - RBY*2L=

[Mateuszencjowaty 0]

Po drugiej stronie znaku równości jest 0?

[LastOrder 0]

Dnia 25.01.2015 o 11:58, Mateuszencjowaty napisał:

Po drugiej stronie znaku równości jest 0?

Tak oczywiście . Przepraszam .

[Mateuszencjowaty 0]

A proszę

[Mateuszencjowaty 0]

W szkole średniej dostałem do analizy funkcję f(x)=x/sqrt(x^2-4) i nie wiem jak ją rozgryźć, by dojść do szkicu. Pracuję według schematu:
1. Dziedzina funkcji
2. Granice funkcji na krańcach przedziałów, badanie istnienia asymptot
3. Wyznaczenie punktów przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
4. Pochodna z jej dziedziną
5. Przedziały monotoniczności i ekstrema

Na określeniu dziedziny skończyłem, bo dalej nie wiem skąd gryźć. Wychodzi, że X należy do R\{-2,2} (jeśli przyjmiemy, że umiem rozwiązywać pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej), bądź X należy do R\(-2, 2) [jeśli przyjmiemy, że nie umiem]

Braki z lekcji, wiedzy z działań na wyrażeniach, cokolwiek, nie wiem. W każdym razie, jest to podobno zadanie "z tych ciekawszych", jako dodatkowe. Wielkie dzięki, jakby ktoś rzucił okiem :)