Matematyka

[Harrolfo 0]

Mógłby mi ktoś po kolei wyjaśnić jak laikowi jak obliczać:
Macierz Hessego
Macierz Jacobiego
Ekstrema lokalne
Ekstrema globalne
Punkt minimum lokalnego/maksimum lokalnego (pMinL/pMaxL)
Rozwiązanie problemu Cauchy''ego (??)
Całkę oznaczoną
Granicę funkcji w punkcie
?

Wiem, że tego dużo, ale jutro mam egzamin z Analizy Matematycznej i to są zagadnienia, z którymi mam największe problemy...
Będę wdzięczny za każdą pomoc

[Hell_Ashtar 0]

Witam wszystkich. Pilna sprawa - patrzę na układ równań i nie wiem jak się za niego zabrać. Pomoże ktoś? Układ wygląda tak:

x * y = 480
(x + 8) * (y - 3) = 480


Pozdrawiam.

[LordTyrranoos 0]

Nie wiem jak brzmi treść zadania, ale ja zrobiłem tak:
z pierwszego wyznaczyłem x = (480/y) i podstawiłem do drugiego. Trochę uporządkować, pomnożyć przez zalegający w jednym miejscu w mianowniku y, podzielić do najprostszej postaci i otrzymałem równianie kwadratowe postaci:
y^2 - 3y - 180 = 0

Wyjdą dwa rozwiązania y, potem podstawiając je do pierwszego równiania dostaniesz dwa rozwiązania x. Mi wyszło y1 = -12, x1 = -40, y2 = 15, x2 = 32 (zakładam, że z treści zadania wynika, że spełnia je tylko ta druga para).

[szypek26 0]

Dnia 21.03.2011 o 19:17, Hell_Ashtar napisał:

Witam wszystkich. Pilna sprawa - patrzę na układ równań i nie wiem jak się za niego zabrać.

Tak jak z każdym układem równań - z pierwszego równania wyznaczasz albo X albo Y i podstawiasz do drugiego równania, które później wyliczasz...

[o_Orange 0]

Dnia 21.03.2011 o 19:17, Hell_Ashtar napisał:

x * y = 480
(x + 8) * (y - 3) = 480

x=480/y
(480/y+8)*(y-3)=480
//sprowadzamy do wspólnego mianownika
x=480/y
[(480+8y)/y]*(y-3)=480
//wymnażamy
x=480/y
480+8y-3*(480+8y)/y=480
//skracamy 480 i mnożymy razy y
x=480/y
8y^2-3*(480+8y)=0
//mnożymy
x=480/y
8y^2-1440+24y=0

rozwiązujemy równanie 8y^2+24y-1440=0
y^2+3y-180=0
delta=3^2-4*(-180)
delta=9+720
delta=729
sqrt(delta)=27

y1 = (-3-27)/2 = -15 x1 = 480/(-15) = -32
y2 = (-3+27)/2 = 12 x2 = 480/12 = 40

Proste :)

[Harrolfo 0]

Cześć,
Wyjaśni mi ktoś co po kolei zrobić, aby wyznaczyć największe i najmniejsze wartości funkcji dwóch zmiennych na zbiorze?
Np.
f(x,y) = x^2 - y^2
D: x^2 - y^2 <= 4

Obliczyłem wszystkie pochodne cząstkowe (względem x, jeszcze raz względem x, względem y, jeszcze raz względem y, względem x względem y), z warunku koniecznego wyszło mi wyszedł mi punkt podejrzany o istnienie ekstremum = (0, 0), wyznacznik macierzy Hessego < 0, więc brak ekstremów.
A w odpowiedziach mam wartości ekstremów w (-2, 0), (2,0), (0, -2), (0, 2).
I ja się pytam: skąd się biorą te punkty?

[Harrolfo 0]

Przepraszam, że już odświeżam, ale to pilne!

[Surven 0]

Dnia 27.03.2011 o 09:50, Harrolfo napisał:

Przepraszam, że już odświeżam, ale to pilne!

Hmm, liczyłem też i wyznacznik wyszedł mi -4; czyli brak ekstremów lokalnych. Jesteś pewien, że masz poprawnie przepisane dane?

Ja tu innej drogi nie widzę.

[Harrolfo 0]

No właśnie mi też wyznacznik wyszedł ujemny.
Wcześniej rąbnąłem się przy D: zamiast "-" powinien być "+"

[Surven 0]

Dnia 27.03.2011 o 10:40, Harrolfo napisał:

No właśnie mi też wyznacznik wyszedł ujemny.
Wcześniej rąbnąłem się przy D: zamiast "-" powinien być "+"

Hmm, ale to za wiele nie zmienia. Graficznie przedstawiając dziedzine mamy koło ze środkiem w początku układu współrzędnych i promieniem równym dwa. Punkt podejrzane o istnienie ekstremum (0,0) należy do dziedziny. Dalej idąc sam wyznacznik jest równy -4 <0 -> warunek na ekstremum nie jest spełniony. Moim zdaniem to błąd w odpowiedziach jest, innej opcji moja wiedza (choć znikoma) nie widzi.

[Harrolfo 0]

Tylko, że wszędzie wychodzi wyznacznik<=0, a każde zadanie ma w odpowiedziach wartości maksymalne/minimalne.

[kiejkut 0]

Dnia 26.03.2011 o 14:21, Harrolfo napisał:

A w odpowiedziach mam wartości ekstremów w (-2, 0), (2,0), (0, -2), (0, 2).
I ja się pytam: skąd się biorą te punkty?

Oprócz punktów gdzie sie zerują pochodne cząstkowe, musisz jeszcze zbadać funkcję na brzegu rozpatrywanego obszaru(tzn, na okręgu)

[Harrolfo 0]

Ok, już wyliczyłem x^2 = 4 - y^2
Podstawiłem, z = -2y^2 +4
Pochodna: z'' = -4y
z'' = 0 <=> y = 0
No i wtedy dalej:
x^2 = 4 -0^2 = 4
x=2 v x=-2
Więc mam dwa punkty: (2, 0) i (-2, 0).
Skąd wziąć pozostałe z odpowiedzi, tj. (0, -2), (0, 2)?
I od razu pytanie: Co robić, gdy x należy do jakiegoś przedziału, a y do innego?

[kiejkut 0]

Dnia 27.03.2011 o 21:59, Harrolfo napisał:

Ok, już wyliczyłem x^2 = 4 - y^2
Podstawiłem, z = -2y^2 +4
Pochodna: z'' = -4y
z'' = 0 <=> y = 0
No i wtedy dalej:
x^2 = 4 -0^2 = 4
x=2 v x=-2
Więc mam dwa punkty: (2, 0) i (-2, 0).
Skąd wziąć pozostałe z odpowiedzi, tj. (0, -2), (0, 2)?

Bo y są z przedziału [-2,2]. Znalazłeś maksimum a minimum będzie na krańcach przedziału. (Tzn na brzegu)

[Harrolfo 0]

A mógłbyś mi krok po kroku opisać wyznaczenie minimum?

[kiejkut 0]

Dnia 27.03.2011 o 23:32, Harrolfo napisał:

A mógłbyś mi krok po kroku opisać wyznaczenie minimum?

Jak masz "dobrą" funkcje określoną na przedziale [a,b] to najmniejsza i najwieksza wartość funkcji to albo punkt z przedziału (a,b) w którym zeruje sie pochodna, albo jeden z punktów a,b.

U ciebie to 0 i -2,2. Wstaw do funkcji i zobacz która wartość bedzie najwieksza a która najmniejsza.

[Bonaventtura 0]

Pytanko mam następujące:

mam dane zadanie żeby rozwiązać równanie

i nie wiem czemu ale w rozwiązaniach (po skróceniu pierwiastka z potęgą) zamiast 2x-3=7 jest |2x-3|=7 no a z tego są dwa wyniki. Czemu wprowadzono tu wartość bezwzględną??

[Vel_Grozny 0]

Dnia 19.04.2011 o 16:40, Bonaventtura napisał:

Pytanko mam następujące:

mam dane zadanie żeby rozwiązać równanie

i nie wiem czemu ale w rozwiązaniach (po skróceniu pierwiastka z potęgą) zamiast 2x-3=7
jest |2x-3|=7 no a z tego są dwa wyniki. Czemu wprowadzono tu wartość bezwzględną??

Odruchowo chce się po prostu skrócić pierwiastek z potęgą, ale tak nie można. Tak samo jak trzeba uważać mnożąc jakieś równanie przez mianownik.
Spójrz - pierwiastkowanie jest ostatnią operacją jaką wykonujesz. Wcześniej robisz potęgowanie, a podniesienie do kwadratu zarówno liczby dodatniej, jak i ujemnej daje ten sam wynik. Gdybyś po prostu to tak skrócił, to byś zlikwidował jedno rozwiązanie.
Sprawdź zresztą sam, zobaczysz, że rozwiązania uzyskane z wartości bezwzględnej spełniają równanie, a skracając dostaniesz tylko jedno.
Po prostu musisz pamiętać, że w tym wypadku najpierw potęgujesz, kasując ujemne liczby.

Kurczę... strasznie mętnie to wyszło. :) Mam nadzieję, że złapałeś.

[Bonaventtura 0]

w odpowiedziach pisze, cytuje: "Opuszczenie pierwiastka: |2x-3|=7" . czyli tak jakby skrócili potęgę z pierwiastkiem a nawias zamienili na wartość bezwzględną. Mogę zastosować wzór na kwadrat różnicy dwóch liczb, ale da mi to wzór z którego powinienem wyciągnąć deltę, a do tego wszystko to będzie pod pierwiastkiem. Zresztą widzisz sam jak piszą w odpowiedziach. To jest po prostu taka zasada że skracając potęgę z pierwiastkiem to co pod dajemy w wartość bezwzględną? pamiętam podobne zadania bez x i żadnej wartości bezwzględnej tam nie wstawiałem ;|

[Vel_Grozny 0]

Dnia 19.04.2011 o 17:07, Bonaventtura napisał:

w odpowiedziach pisze, cytuje: "Opuszczenie pierwiastka: |2x-3|=7" . czyli tak jakby
skrócili potęgę z pierwiastkiem a nawias zamienili na wartość bezwzględną. Mogę zastosować
wzór na kwadrat różnicy dwóch liczb, ale da mi to wzór z którego powinienem wyciągnąć
deltę, a do tego wszystko to będzie pod pierwiastkiem. Zresztą widzisz sam jak piszą
w odpowiedziach. To jest po prostu taka zasada że skracając potęgę z pierwiastkiem to
co pod dajemy w wartość bezwzględną? pamiętam podobne zadania bez x i żadnej wartości
bezwzględnej tam nie wstawiałem ;|

Alternatywna metoda rozwiązania - podnieś obie strony do kwadratu
(2x-3)^2 = 49
4x^2-12x-40 = 0
Delta = 784
Sqrt(Delta) = 28

x1 = (12 - 28)/ 8 = -2
x2 = (12 + 28)/ 8 = 5

Sprawdzamy:
Olejmy przypadek x2, gdzie x = 5

2*(-2) - 3 = -7
czyli nasze równanie wygląda tak
pierwiastek[(-7)^2] = 7

Prawda czy nie? Prawda. (-7)^2 = 49, pierwiastkujemy i jest 7. A teraz "skróć" pierwiastkowanie i potęgowanie. -7 = 7. ???? Co się stało? Rozumiesz już skąd się bierze tam wartość bezwzględna? Ciężko mi powiedzieć czy dodawanie tam wartości bezwzględnej to zasada. To po prostu wynika z tego jak działa pierwiastkowanie i potęgowanie.