Matematyka

[pkapis 0]

Dnia 06.11.2008 o 14:04, Xanax napisał:

Kiedyś słyszałem anegdotę o takim jednym matematyku, który zajmował się przestrzeniami
wielowymiarowymi. Zapytany jak wyobraża sobie obiekty w przestrzeni np. 100-wymiarowej
odpowiedział: "Najpierw wyobrażam sobie to w przestrzeni n-wymiarowej, a dopiero potem
przechodzę do konkretnego wymiaru." :D Cytat z pamięci, ale sens zachowany.

To akurat funkcjonuje jako dowcip z serii o matematyku, fizyku i inżynierze.
Zaś co do wyobrażania, u mnie kiedyś na ćwiczeniach prowadzący stwierdził, że coś wygląda jak czterowymiarowa kula. Na nasze zdziwione spojrzenia dodał "Państwo nie wiedzą jak wygląda czterowymiarowa kula? Ona wygląda tak." i narysował ją na tablicy, w dwóch wymiarach. :-D

[Matteos 0]

Dnia 05.11.2008 o 21:18, KrzysztofMarek napisał:

No nie, popatrzyłem sobie. A nie znasz czasem takiego naczynia, mającego jedna tylko
stronę? Takiego lepszego jednostrońca? Chętnie bym sobie poogladał, bo dotąd tylko rysunek,
dość kiepski, widziałem ;-D

Czy chodzi o obiekt zwany butelką (ew. płaszczyzną) Kleina? Jeśli tak, to zaraz Ci coś podrzucę, ale najpierw mała pogadanka (a co!).

Wyobrażenie sobie trójwymiarowej (czyli takiej „normalnej” dla zwykłego zjadacza chleba) kuli nie sprawi nikomu trudności. Jeśli założyć, że chcielibyśmy oglądać ją z perspektywy o wymiar niższej, to na podstawie takiego płaskiego rysunku (będącego tzw. rzutem na płaszczyznę) również bez zbytniego wysiłku odtworzymy sobie początkowy obiekt. Ba, gdy zrzutujemy rzut, czyli znowu przejdziemy o jeden wymiar niżej, to nasza percepcja nadal sobie poradzi z powrotem w 3D. Łatwość ta wynika z tego, że mamy przyjemność żyć w tym najwyższym, „naturalnym” dla trójwymiarowej kuli świecie. Gdyby jakieś jednowymiarowe żyjątko chciało powtórzyć ten wyczyn, przekroczy to jego możliwości. Zwróć uwagę, jak nieskończenie bogatsze jest 3D w porównaniu z 1D, ten sam obiekt w zależności od ilości „D” z którego się go ogląda ma zupełnie inne własności: w naszym przypadku: 3D = przestrzenna kula, 2D = płaskie koło, 1D = odcinek. I to jest ten sam byt! Dlatego dodaje cudzysłowy w określeniach pokroju „naturalny” [świat ileśtam wymiarowy] – tak naprawdę czegoś takiego nie ma. Gdy powtórzyć taki wyczyn np. z sześcianem, to z widoku na płaszczyźnie wynika, że jego boki przecinają się, choć tak naturalnie nie jest w trójwymiarze – aby to obejść stosuje się różne sztuczki w rodzaju cieniowania czy przerywanych linii na rysunkach. Nie zmienia to faktu, że mimo wszystko na płaszczyźnie się przecinają...

Butelka Kleina to byt czterowymiarowy w tym sensie, że najlepiej się prezentuje (tzn. bez dziwnych anomalii) właśnie w 4D. Oglądanie go na płaskim rysunku to nonsens – to całe dwa wymiary niżej. Niestety, nasza percepcja jest ograniczona do 3D i raczej jeszcze przez długi czas nie będzie tego jak obejść. I taki widok (no, prawie – monitor jest płaski) Ci przesyłam:
http://pl.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc

Jak już wspomniałem, takie zrzutowanie anihiluje część własności i zmusza do oglądania np. przecinania się boków czy ścian. W przypadku butelki Kleina możemy to zaobserwować jako tajemnicze przenikanie „szyjki” do środka. W 4D takie coś nie ma miejsca, choć wyobraźnia już tego nie obejmuje. Zwróć uwagę, jak butelkę można rozciąć na wstęgę Möbiusa (ta zapętlona wstążka z jedną stroną którą można samemu zrobić). Daje to pewne wyobrażenie o strukturze tego obiektu. Choć nawet w 3D jest on interesujący – pobudza wyobraźnie. Na tyle, że można znaleźć sklepy produkujące takie butelki i towary butelkopochodne (patrz dół posta - trzy obrazki ze strony http://www.kleinbottle.com/index.htm można tam sobie m.in. pooglądać zdjęcia z produkcji takich cudów). Oczywiście nie mają one własności pełnokrwistych, czterowymiarowych odpowiedników.

Zagadnienie operowania obiektami o tak abstrakcyjnych własnościach to jeden z przejawów potęgi metod matematycznych. To przecież... wykroczenie poza biologiczne poznanie ludzkie. To, że umiem operować przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi (sic!) to nie znaczy, że potrafię je sobie wyobrazić. Problemy pojawiają się już bardzo wcześnie – w 4D płaszczyzny mogą przecinać się dokładnie w jednym punkcie... Teoriomnogościowe wyniki, o których Ci trochę opowiadałem – te fakty o zliczaniu liczb rzeczywistych, porównywaniu ilości punktów na odcinku i w przestrzeni itd. to osiągnięcia wysoce nietrywialne i wiele wody upłynęło, nim zostały zaakceptowane. Sam odkrywca, matematyk Georg Cantor, popadł w chorobę psychiczną. A dzięki niemu i wysiłkom następnych pokoleń mogłem Ci to wszystko napisać. Nieskończone są arkany Sztuki, a im bardziej się je zgłębia, tym bardziej błahe wydają się inne dziedziny wiedzy.

Heh, a jak nie chodziło o butelkę Kleina, to bardziej sprecyzuj zapytanie.

[KrzysztofMarek 9]

Dnia 06.11.2008 o 22:29, Matteos napisał:

> /.../ > Heh, a jak nie chodziło o butelkę Kleina, to bardziej sprecyzuj zapytanie.

>
Właśnie o butelkę Kleina mi chodziło, tylko zapomniałem nazwy. Samą butelkę, jak i jej odpowiedniki w szkle (zwłaszcza kufel i erlenmajerkę - można z nich niemal normalnie pić) oglądałem z dużą przyjemnością.
Co do naszego świata - niekoniecznie musi on być czterowymiarowy (czwartym jest czas). Są teorie, w których, jak dotąd, wszystko się zgadza, a w których świat ma więcej wymiarów. Jeśli ma pięć (łacznie z czasem) wymiarów, to jakoś może damy sobie z tym radę, jeśli jednak ma dwanaście, to chyba nigdy nie pojmiemy go w pełni...:(

[Nufiko 0]

Ja słyszałem tylko o teorii gdzie najwyższym wymiarem jest wymiar 10 i wtedy wszystkie wzory podobno zaczynają się zgadzać, i nawet grawitacja ma swoje wyjaśnienie inne niż takie, że jest. A tu link wyjaśniający po angielsku jak sobie wyobrazić wymiary do 10.
http://www.tenthdimension.com/flash2.php wystarczy kliknąć w "spiralę" aby odtworzyć film.

[pkapis 0]

Dnia 06.11.2008 o 22:29, Matteos napisał:

Wyobrażenie sobie trójwymiarowej (czyli takiej „normalnej” dla zwykłego zjadacza
chleba) kuli nie sprawi nikomu trudności. Jeśli założyć, że chcielibyśmy oglądać ją z
perspektywy o wymiar niższej, to na podstawie takiego płaskiego rysunku (będącego tzw.
rzutem na płaszczyznę) również bez zbytniego wysiłku odtworzymy sobie początkowy obiekt.
Ba, gdy zrzutujemy rzut, czyli znowu przejdziemy o jeden wymiar niżej, to nasza percepcja
nadal sobie poradzi z powrotem w 3D. Łatwość ta wynika z tego, że mamy przyjemność żyć
w tym najwyższym, „naturalnym” dla trójwymiarowej kuli świecie. Gdyby jakieś
jednowymiarowe żyjątko chciało powtórzyć ten wyczyn, przekroczy to jego możliwości. Zwróć
uwagę, jak nieskończenie bogatsze jest 3D w porównaniu z 1D, ten sam obiekt w zależności
od ilości „D” z którego się go ogląda ma zupełnie inne własności: w naszym
przypadku: 3D = przestrzenna kula, 2D = płaskie koło, 1D = odcinek. I to jest ten sam
byt! Dlatego dodaje cudzysłowy w określeniach pokroju „naturalny” [świat
ileśtam wymiarowy] – tak naprawdę czegoś takiego nie ma. Gdy powtórzyć taki wyczyn
np. z sześcianem, to z widoku na płaszczyźnie wynika, że jego boki przecinają się, choć
tak naturalnie nie jest w trójwymiarze – aby to obejść stosuje się różne sztuczki
w rodzaju cieniowania czy przerywanych linii na rysunkach. Nie zmienia to faktu, że mimo
wszystko na płaszczyźnie się przecinają...

Hmmm, chwilka. Przy przedstawianiu kuli w 2D też się stosuje cieniowanie, inaczej wyglądem nie będzie się różniła od okręgu. Jeśli zakładasz że kula w 3D = koło (chociaż wydaje mi się, że okrąg jest częściej spotykany) w 2D, to dla sześcianiu odpowiednikiem będzie kwadrat. Owszem, nie odda pełni sześcianiu, ale koło też nie oddaje w pełni kuli, bo równie dobrze może to być rzut w 2D trójwymiarowego dysku. Żeby lepiej pokazać kulę w 2D trzeba również skorzystać ze sztuczek.

[Nufiko 0]

Dnia 07.11.2008 o 11:51, pkapis napisał:

Hmmm, chwilka. Przy przedstawianiu kuli w 2D też się stosuje cieniowanie, inaczej wyglądem
nie będzie się różniła od okręgu. Jeśli zakładasz że kula w 3D = koło (chociaż wydaje
mi się, że okrąg jest częściej spotykany) w 2D, to dla sześcianiu odpowiednikiem będzie
kwadrat. Owszem, nie odda pełni sześcianiu, ale koło też nie oddaje w pełni kuli, bo
równie dobrze może to być rzut w 2D trójwymiarowego dysku. Żeby lepiej pokazać kulę w
2D trzeba również skorzystać ze sztuczek.

tu raczej nie chodzi o zobrazowanie kuli w 2D a o to co jest dwuwymiarową kulą. Koło to dwuwymiarowa kula, ale równie dobrze może być to walec. Zasada jest taka, że aby uzyskać przedmiot w wymiarze o 1 wyższym należy oryginał przemieścić w wymiarze wyżej.

[EganWolf 0]

W związku z powyższymi rozważaniami co jak wygląda w innych wymiarach, powinniście poznać liniowców i płaszczaki. Pozwolę sobie je przedstawić. To właśnie takie żyjątka. Liniowce żyją w świecie jednowymiarowym czyli na prostej, a płaszczaki oczywiście na płaszczyźnie. Niestety świat liniowców jest strasznie ubogi i trudno się tam żyje. Liniowce nie mogą się nawet mijać! Gdy liniowiec spotka innego liniowca, widzi tylko punkt przed sobą będący właściwie okiem innego liniowca. Reszta ciała jest schowana za tym okiem. Chociaż czy to na pewno oko? Liniowce przecież muszą coś jeść! Więc raczej prędzej posiadają swego rodzaju usta, za którymi znajduje się ich liniowy układ pokarmowy. Na dodatek nieskończenie cienki układ i właściwie jest to zarazem całe ciało jakie posiadają. Eh, biedne są te liniowce.

O wiele lepiej żyje się w świecie płaszczaków. Mają już nie tylko swoją szerokość ale i wysokość. Mają nóżki, oko (niestety tylko jedno, chyba że drugie jest ponad pierwszym) i usta. Ale jak wygląda ich układ pokarmowy? Przecież nie może być to otwór zaczynający się ustami i kończący się... Wiadomo czym. Przecież wtedy płaszczak rozleciałby się na dwie części! Z tego wniosek, że ich układ pokarmowy musi się na zmianę pojawiać i znikać. Najpierw jest jego górna część, gdy pokarm dojdzie do końca część górna się zasklepia, a otwiera dolna. Nareszcie nasz płaszczak jest w jednym kawałku. A jak wyglądają jego koledzy? Całkiem prosto. A dokładnie to "odcinkowo". Jednak mogą się oni już swobodnie wymijać, w przeciwieństwie do liniowców. Niemniej jeśli płaszczak się urodzi w tę samą stronę co inny, nigdy nie spojrzą sobie w oczy, chyba że któryś stanie na głowie. Żaden z nich nie może się w inny sposób obrócić w stronę drugiego.

Skoro już poznaliśmy płaszczaki i liniowce, możemy bardziej świadomie rozważać poruszony temat kuli. My ją widzimy... Tak jak widzimy. Zakładając, że jesteśmy w stanie wychwycić to, że w innym miejscu jest bliżej nas niż w innym, to zdajemy sobie sprawę z tego, że to kula (przeciwnie widzimy zwyczajne koło). Obetnijmy teraz kulę do płaszczyzny i popatrzmy na nią oczami (bądź okiem) płaszczaka. Przy tym samym założeniu co wyżej widzi on koło, lecz patrzy na jego krawędź z boku (jeśli płaszczak nie widzi głębi, zobaczy odcinek, zawsze tej samej długości z każdej strony). A co widać u biednych liniowców? Skoro u płaszczaków z kuli powstało koło, czyli to co my widzimy bez rozróżniania głębi, to liniowce powinny widzieć odcinek, czyli to, co widzą płaszczaki bez głębi. Niestety ten odcinek jest na tej samej prostej co liniowiec, więc zobaczy tylko jego początek, a to jest punkt. Naprawdę są biedne. Chyba, że przyjmiemy, że ów odcinek jest troszkę przezroczysty, wtedy liniowiec zobaczy go w całości. Ale chwileczkę... Czy na pewno wszystko jest tak jak powinno być? Zacznijmy znów od siebie i porównajmy widzenie z głębią z (widzeniem bez głębi). (koło)=>kula. Jaki jest między nimi związek? Obracając koło wokół osi otrzymamy kulę. Aha. To teraz płaszczaki. (odcinek)=>koło. Pasuje. Obracamy odcinek wokół punktu znajdującego się w jego środku. Na przykład dolną krawędź ciągniemy do siebie a górną odpychamy. To teraz pora na liniowców. (punkt)=>odcinek? Ależ tak! Jeden koniec punktu ciągniemy. Spytacie gdzie? Proste! W świat liniowca! Jego światem jest prosta, więc tak naprawdę wydłużamy punkt w odcinek, w obydwie strony. Uff...

Jaki z tego pożytek dla nas? Ano taki, że odwracając rozumowanie, czyli idąc od liniowca do nas, możemy mniej więcej wywnioskować jak wyglądają czterowymiarowe obiekty. Dość łatwo możemy się dowiedzieć jak wygląda trójwymiarowy cień czterowymiarowego sześcianu. To właśnie to coś, co w swoim poście przedstawił Matteos (mowa o tesserakcie). Póki co trzeba odpocząć od płaszczaków i liniowców i wrócić do naszego świata, ale jutro postaram się opisać co i jak. No i zachęcam spróbować samemu.

[Matteos 0]

Dnia 07.11.2008 o 11:51, pkapis napisał:

Jeśli zakładasz że kula w 3D = koło (chociaż wydaje mi się, że okrąg jest częściej spotykany) w 2D

Hmmm? A jaki prawem utożsamiać kulę z okręgiem?. „Kula” to termin topologiczny. Przy ustalonej funkcji odległości (np. klasycznej euklidesowej), ustalonym punkcie („środek”) i określonej długości wyrażonej liczbą („promień”) kula domknięta jest to zbiór punktów oddalonych od środka o nie więcej niż długość promienia. Kulę otwartą definiuje się analogicznie, z tym że punkty mają być oddalone o mniej niż długość promienia – czyli jest to kula domknięta „bez skórki”. I tak na przykład na prostej kula jednowymiarowa o środku w zerze i promieniu jeden to odcinek (-1;1) z końcami – kula domknięta lub bez – kula otwarta. Na płaszczyźnie kula dwuwymiarowa o środku w punkcie (0,0) i promieniu jeden to koło o środku w początku układu współrzędnych (z brzegiem lub bez). I tak dalej... Okrąg na płaszczyźnie to osobne pojęcie – to zbiór punktów odległych od środka o dokładnie tyle, ile wynosi promień. Jego odpowiednikiem w przestrzeni 3D jest sfera dwuwymiarowa (tak, dwuwymiarowa). O okręgu można powiedzieć, że to kula tylko przenośnie, tzn. pozostawiając w domyśle, że wbrew temu co widac na rysunku chodzi nam także o punkty leżące wewnątrz konturu.

Dnia 07.11.2008 o 11:51, pkapis napisał:

równie dobrze może to być rzut w 2D trójwymiarowego dysku.

Co to jest dysk trójwymiarowy? Chodzi o dwuwymiarowy dysk umieszczony w trójwymiarowej przestrzeni? Jeśli zanurzy się prostą w przestrzeni 100D, to nie znaczy, że staje się ona stuwymiarowa.

>Żeby lepiej pokazać kulę w 2D trzeba również skorzystać ze sztuczek.

W sumie racja. Ale rzut kuli 3D na płaszczyznę to akurat to samo, co kula 2D. Nie ma różnicy, czy o danym zbiorze myślimy jako o pochodzącym ze świata o wymiar wyższego, czy nie. Chcąc wyobrazić sobie kulę wymiarowo wyższą, wystarczy zastosować operację intelektualną polegającą na zastosowaniu definicji z nowymi danymi. Wiąże się to z niezwykle prostą strukturą kuli, która nawet nie jest wrażliwa na obroty. Jeśli ktoś chce sobie dorysować na rzucie jakieś dodatki, to naturalnie nie ma problemu - zresztą często dodaje się np. „połysk”. Rzut sześcianu na płaszczyznę nie musi być kwadratem tzn. rzut hipersześcianu 3D tylko czasami jest hipersześcianem 2D. Przy czym następuje pewne uproszczenie – aby nie powstała jedna kanciasta plama rzutuje się same krawędzie (patrz obrazek). Tutaj przy poglądowym (w sensie - nieformalnym) przechodzeniu wyżej już nie zadziała „to jest to samo, tylko dodajcie sobie +1 w definicji”. Dlatego np. używa się Zaawansowanego Usuwacza (ścierki) i tworzy przerywaną linię dla krawędzi „z tyłu”. Wtedy to już nie jest rzut, tylko rysunek.

Choć to wszystko to raczej czepianie się, gdyż jeśli nawet stanę przed bliżej nieokreślonym audytorium i narysuję coś jajowatego w kratkę po czym powiem, że to zrzutowana kula 3D, to i tak słuchacze domyślą się reszty. Obrazowanie czegokolwiek to kwestia umowy – rysunki w matematyce to wszak czysta propaganda. Ten gif który podałem, to też ani rzut, ani rzeczywisty hipersześcian, tylko „szybki” połączone krawędziami...

[szynka140 0]

widzę że toczy sie rozmowa na temat wymiarów, moim zdaniem 4 wymiar nie istnieje, a jeśli nawet istnieje to nie możemy go zobaczyć, gdyż jesteśmy postaciami 3D, poza tym przedstawiony wyżej tesseract to poprostu sześcian w sześcianie, których wierzchołki połączono odcinkami

[hans_olo 0]

Dnia 08.11.2008 o 18:34, szynka140 napisał:

widzę że toczy sie rozmowa na temat wymiarów, moim zdaniem 4 wymiar nie istnieje, a jeśli
nawet istnieje to nie możemy go zobaczyć, gdyż jesteśmy postaciami 3D, poza tym przedstawiony
wyżej tesseract to poprostu sześcian w sześcianie, których wierzchołki połączono odcinkami

A co to za stwierdzenie, że czwarty wymiar nie istnieje? Wymiar wcale nie musi być postrzegalny wizualnie. To co napisałeś dość mocno mija się z prawdą. Czterowymiarowy tesserakt to nie dwa lecz osiem sześcianów.

[hallas 0]

> Hmmm, chwilka. Przy przedstawianiu kuli w 2D też się stosuje cieniowanie, inaczej wyglądem
> nie będzie się różniła od okręgu.
Zdecydowanie - na rysunku.
> Jeśli zakładasz że kula w 3D = koło
Tak po prostu jest. Ogólna definicja kulki domkniętej o środku w pukcie A i promieniu r wygląda tak:
Jest to zbiór wszystkich punktów danej przestrzeni leżących w odległości nie większej niż r od punktu A.
Czyli odcinek -> koło -> kula.
> to dla sześcianiu odpowiednikiem będzie
> kwadrat.
Przedmówcy chodziło o taki sześcian zbudowany z patyków i po rzutowaniu na płaszczyznę rzeczywiście będą tam przecinające się linie - jak? - wszystko zależy od tego jak będzie ustawiony sześcian przed rzutowaniem. Z resztą już zamieszczono stosowny obrazek. Jeśli natomiast będzie to wypełniona kostka to po rzutowaniu otrzymamy na płaszczyźnie różne wariacje sześciokąta lub czworokąta (proponuję doświadczenie z lampką na biurku, piłeczką i kostką do gry).
> Owszem, nie odda pełni sześcianiu, ale koło też nie oddaje w pełni kuli, bo
> równie dobrze może to być rzut w 2D trójwymiarowego dysku. Żeby lepiej pokazać kulę w
> 2D trzeba również skorzystać ze sztuczek.
Owszem, owszem. Na przykład pokazać siatkę z której da się złożyć ową kostkę. Z kulką jest trochę ciężej a z drugiej strony łatwiej - ona jest symetryczna.

[hallas 0]

Dnia 06.11.2008 o 13:03, rob006 napisał:

Pół tysiąca stron... Zapewne porywająca lektura, ale obawiam się że nie będę miał czasu
aby ją choćby przejrzeć :P

Jeśli chodzi o granice to można w sumie tak powiedzieć ale sytuacja jest dalece bardziej skomplikowana. Jest to tylko oznaczenie danego typu wyrażenia i nic więcej.
Jeśli natomiast chodzi o "normalne obliczenia" to po pierwsze - nie rozważa się czegoś takiego jak "działanie zwane dzieleniem". Jest tylko mnożenie przez element odwrotny.

To w takim razie pozostaje pytanie - jaki jest element odwrotny dla zera? Czyli z definicji taki element x, że 0*x = x*0 = 1?
Odpowiedź - nie ma, ponieważ bez problemu udowodnimy, że w liczbach rzeczywistych każde mnożenie przez zero da zero:
Weźmy dowolny element x należący do R:
x*0 = x*(0+0) = x*0 + x*0
Kożystając z właściwości "obustronnego dodawania" mamy
0 = x*0
Z dowolności x wynika, że nie ma takiej liczby w zbiorze liczb rzeczywistych by x*0 = 1

Jeszcze dla pewności, że wszystko jest jasne udowodnię ową własność tj.:
Teza: Dla każdych liczb rzeczywistych a,x,y zachodzi
(a+x = a + y) => (x = y)
Dowód:
x = x + 0 = x + a + (-a) = a + x + (-a) = { z założenia } = a + y + (-a) = y.
Quod erat demonstrandum.

[rob006 1]

Dnia 08.11.2008 o 19:36, hallas napisał:

To w takim razie pozostaje pytanie - jaki jest element odwrotny dla zera?

Hmm, to wiele wyjaśnia, dzięki. ;) Jeszcze tylko mnie zastanawia, czy ktoś wymyślił zbiór liczb, w którym zero ma element odwrotny... :P

[hallas 0]

Dnia 08.11.2008 o 21:43, rob006 napisał:

Hmm, to wiele wyjaśnia, dzięki. ;) Jeszcze tylko mnie zastanawia, czy ktoś wymyślił zbiór
liczb, w którym zero ma element odwrotny... :P

Istnieje dokładnie jeden taki pierścień (czyli zbiór; działanie dodawania, które jest łączne, przemienne i ma element neutralny "0" oraz elementy przeciwne dla każdego elementu zbioru; działanie mnożenia, które jest łączne oraz ma element neutralny "1"; związek pomiędzy działaniami w postaci rozdzielności mnożenia względem dodawania), w którym 1 = 0. Przykład nieciekawy bo przy tym założeniu mamy, że dowolny element tego pierścienia jest zerem a zatem jest to pierścień, w którym jest tylko jeden element. Dlatego jak się rozważa jakieś rzeczy o pierścieniach, grupach, ciałach to z miejsca się odrzuca ten jeden przypadek - nie dość, że nie ciekawy to jeszcze mógłby sprawiać jakieś problemy.

[pkapis 0]

Dnia 08.11.2008 o 03:35, Matteos napisał:

> Jeśli zakładasz że kula w 3D = koło (chociaż wydaje mi się, że okrąg jest częściej
spotykany) w 2D

Hmmm? A jaki prawem utożsamiać kulę z okręgiem?. „Kula” to termin topologiczny.

Tu oczywiście masz rację. Ale przy przedstawieniu graficznym mam wrażenie, że stykałem się raczej z okręgiem, co było uproszczeniem, bo nikomu nie chciało się zamalowywać wnętrza. :-)

Dnia 08.11.2008 o 03:35, Matteos napisał:

brzegiem lub bez). I tak dalej... Okrąg na płaszczyźnie to osobne pojęcie – to
zbiór punktów odległych od środka o dokładnie tyle, ile wynosi promień. Jego odpowiednikiem
w przestrzeni 3D jest sfera dwuwymiarowa (tak, dwuwymiarowa). O okręgu można powiedzieć,
że to kula tylko przenośnie, tzn. pozostawiając w domyśle, że wbrew temu co widac na
rysunku chodzi nam także o punkty leżące wewnątrz konturu.

Dwywymiarowa, bo ścianka nie ma grubości, jak rozumiem? Czy dobrze się domyślam, że będzie to "skórka", wynik różnicy kuli zamkniętej i otwartej o tym samym promieniu? Taki obiekt będzie miał trzy wymiary, tylko to co go buduje jedynie dwa, prawda? Ja co prawda umiem przeprowadzać pewne operacje na n-wymiarowych obiektach, np. macierzach, ale wielowymiarowa geometria to nie jest moja mocna strona.

Dnia 08.11.2008 o 03:35, Matteos napisał:

> równie dobrze może to być rzut w 2D trójwymiarowego dysku.

Co to jest dysk trójwymiarowy?

Dysk, taki jaki znamy z naszego świata. Koło posiadające pewną grubość. Jednym z jego rzutów w 2D będzie oczywiście koło.

Dnia 08.11.2008 o 03:35, Matteos napisał:

strukturą kuli, która nawet nie jest wrażliwa na obroty. Jeśli ktoś chce sobie dorysować
na rzucie jakieś dodatki, to naturalnie nie ma problemu - zresztą często dodaje się np.
„połysk”. Rzut sześcianu na płaszczyznę nie musi być kwadratem tzn. rzut
hipersześcianu 3D tylko czasami jest hipersześcianem 2D. Przy czym następuje pewne uproszczenie

No właśnie, kula jest o tyle specyficzna że każdy jej rzut jest identyczny, a w sześcianie możemy mieć wiele różnych rzutów, m.in idealny kwadrat. Ale mam wrażenie, że to ja coś poplątałem i niepotrzebnie zacząłem mieszać. Przepraszam.

[KrzysztofMarek 9]

Dnia 08.11.2008 o 19:36, hallas napisał:

> /.../ > To w takim razie pozostaje pytanie - jaki jest element odwrotny dla zera? Czyli z definicji
taki element x, że 0*x = x*0 = 1?
Odpowiedź - nie ma, ponieważ bez problemu udowodnimy, że w liczbach rzeczywistych każde
mnożenie przez zero da zero:
Weźmy dowolny element x należący do R:

/.../
Będę złośliwy i napiszę, ze taki element jest. 0 * 0/0 = 0/0 = 1
Wszystko z wykorzystaniem standardowych reguł matematycznych ;-P

[Shiraco 0]

Nie lubię macy a zwłaszcza że mam rozszerzoną masakra dlatego nie będę się wypowiadać zbytnio na ten temat :P

[hallas 0]

Dnia 10.11.2008 o 20:44, KrzysztofMarek napisał:

Będę złośliwy i napiszę, ze taki element jest. 0 * 0/0 = 0/0 = 1

Przepraszam bardzo, ale "0/0" to tylko oznaczanie (ale to już ty musisz mi powiedzieć czego), równie dobrze mogłęś napisać a, x czy inny y. Jeśli chcesz pokazać, że coś istnieje to to udowodnij (choć będzeisz miał ciężki kawałek chleba bo nie mam absolutnie żadnych wątpliwości, że przedstawiony przeze mnie schemat dowodu jest poprawny a do bycia dowodem pełnoprawnym brakuje mu tylko konkretnego określenia założeń). Wytłumacz mi też co oznacza ta kreska "/" w twoim "0/0" bo jak mówiłem - w rozważaniach matematycznych nie ma czegoś takiego jak dzielenie. Kreska może oznaczać... kreskę symbolu ułamka, jak równie dobrze kreskę używaną przy zbiorach ilorazowych.
Twoje 0*0/0 = 0/0 to już jest kompletna bzdura. Róność 0/0 = 1 jest jeszcze większą bzdurą. Dowód, panie, dowód. Ja nie po to napisałem takowy by ktoś sobie napisał "A nie bo ja wiem inaczej".

Dnia 10.11.2008 o 20:44, KrzysztofMarek napisał:

Wszystko z wykorzystaniem standardowych reguł matematycznych ;-P

Bardzo mnie "ciekawi" jake to są reguły. Standardowe? Nie sądzę. Z rezstą łamiesz podstawową własność dowolnego pierścienia - zero pomnożone przez cokolwiek daje zero - niestety. Jasne - możesz się sprzeczać z dowodem ale to, że go nie rozumiesz nie znaczy, ze ten nie jest poprawny. Tylko jeden matematyk odważył się powiedzieć "jeżeli czytam coś trzeci raz i tego nie rozumiem to znaczy, że jest to bzdura".

[hallas 0]

Dnia 10.11.2008 o 20:44, KrzysztofMarek napisał:

Będę złośliwy i napiszę, ze taki element jest. 0 * 0/0 = 0/0 = 1

Dodam jeszcze, że z tych równości wprost wynika (gdy uznamy, że "0/0" to symbol jakiegoś elementu), że 0 = 1 czyli dokładnie to co pisałem o szczególnym przypadku pierścienia.

[KrzysztofMarek 9]

Dnia 11.11.2008 o 02:36, hallas napisał:

Bardzo mnie "ciekawi" jake to są reguły. Standardowe? Nie sądzę.

Toż pisałem, że będę złośliwy!

Każda liczba podzielona przez siebie, daje w rezultacie 1. Zgadza się?
Każda liczba pomnożona przez zero, daje zero. Zgadza się?
napisałeś sam, ze: 0*x=x*0=1 Zgadza się?
no to podstaw, zamiast x, 0/0 (zero, dzielone przez zero)
Zatem możesz licznik tego ułamka pomnożyć przez zero o sprowadzić to do postaci ułamka prostrzego, to jest 0/0 (zero dzielone przez zero).
A każda liczba dzielona przez siebie daje jeden.
cbdo (co było do okazania ;-P)